江画工太猩院 arctan= dx 01+x 2n+1 x-x+x3-…+(-1) + 35 2n+1 x∈|-1,1 n(1+x) 01+x 1.213 r-+-r + x∈
江西理工大学理学院 ∫ + = x x dx x 0 2 1 arctan L +L + = − + − + − + 2 1 ( 1) 51 31 2 1 3 5 nx x x x n n x ∈[−1,1] ∫ + + = x x dx x 0 1 ln(1 ) = − + −L+ − − +L n x x x x n 2 3 n 1 ( 1) 31 21 x ∈(−1,1]
江画工太猩院 例4将f(x)=√x2+4x展开成x的幂级数 解∫(x)=2x(1+ 1.3 1+x=1+-x (2n-3) x x+… x"+ 22·42.46 (2n) 2x21+·=+ ∑(- (2n-3)!x 24 =2 (2n)!(4 1<-<1 =x2+x2+2(m(n-x2 4<x<4 4n·(2n
江西理工大学理学院 例4 ( ) 4 . 将f x = x5 + x4展开成 x的幂级数 解 2 1 2 ) 4 ( ) 2 (1 x f x = x + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝ − ⎛ = + ⋅ + ∑ − +∞= + n n n x n x n x (2 )!! 4 (2 3)!! ( 1) 2 4 1 2 1 2 2 1 1 4 − 1 ≤ ≤ x . 4 (2 )!! (2 3)!! 2 ( 1) 41 2 2 2 2 3 1 + +∞= + ⋅ − = + + ∑ − n n n n x n n x x − 4 ≤ x ≤ 4 [ 1,1] (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 4 6 1 3 2 41 21 1 1 2 3 − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = + − L n x n L n n x x x x
江画工太猩院 例5将f( X=sinr cos 2x 展开成x的幂级数. f f(r)=sin xcos2x=[sin 3x-sinxl 2n+1 式 sinx=x-x3+xC2-…+(-1) + (2n+1) (3x) 2n+1 2n+1 N(n+!∠2n+1 2n+1 ∑- 2n+1 00<x<+ (2n+1)
江西理工大学理学院 例5 将f (x) = sin xcos2x展开成 x的幂级数. 解 f (x) = sin xcos2x [sin3 sin ] 21 = x − x Q L +L + = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5!1 3!1 sin 2 1 3 5 nx x x x x n n (2 1)! ( 1) 21 (2 1)! (3 ) ( 1) 21 2 1 0 2 1 0 + − − + = − +∞ + = +∞ + =∑ ∑ nx nx n n n n n n − ∞ < < +∞ + − = − + +∞ + = ∑ x x n n n n n . (2 1)! (3 1) ( 1) 21 2 1 2 1 0
江画工太猩院 例6将f(x)=m(+x+x2)展开成x的幂级数 解f(x)=m X≠ 式 ln(1-x3)-lm(1-x) n x)=∑(- 1<x<1 )-1(-}n n ∑(- ∑(-1) +0n+03n 1<x<1 -=1
江西理工大学理学院 例 6 ( ) ln( 1 ) . 将f x = + x + x 2 展开成 x的幂级数 解 1 1 1 ( ) ln 3 ≠ − − = x x x f x ln( 1 ) ln( 1 ) 3 = − x − − x ln( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 + = − − < ≤ − + ∞ = ∑ x n x x n n n Q n x n x n n n n n n ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 1 1 3 1 1 − − − − = − − + ∞ = − + ∞ = ∑ ∑ ∑ ∑ + ∞ = + ∞ = = − 1 3 1 . n n n n n x n x − 1 ≤ x < 1