江画工太猩院 在(-1,1内,若 s(x)=1+ax+…+ 0(-1)…(0-n+1) y+∴ s(x)=0+a(0-1)x+…+ 0(-1)…(0-n+1) (n-1) 2 a(a-1)…(a-n+1) x(x)=ax+a(a-1)x2+…+ (n-1) 利用 (m-1)…(m-n+1),(m-1)…(团m-n)m(m-1)…(m-n+1) (n-1)! nk n
江西理工大学理学院 在(−1,1)内,若 L L L + α α − α − + = + α + + n x n n s x x ! ( 1) ( 1) ( ) 1 L L L + − α α − α − + ′ = α + α α − + + −1 ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) n x n n s x x L L L + − − − + ′ = + − + + n x n n xs x x x ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 2 α α α α α α ! ( 1) ( 1) ! ( 1) ( ) ( 1)! ( 1) ( 1) n m m m n n m m n n m m n − − + = − − + − − L − + L L 利用
江画工太猩院 ∴(1+xS(x =C+0r 2+…x×a-1-0-n+ n as(X SIX 且s(0) s(x)1+x 两边积分 a,x∈(-1,1) tX 1 In s(x)-In s(0)=aIn(1+x)
江西理工大学理学院 ∴(1+ x)s′(x) L L L + α α − α − + + + α α − = α + α + −1 2 2 2 ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) n x n n x x = αs(x) , ( ) 1 ( ) s x x s x + = ′ ∴ α 且 s(0) = 1. 两边积分 , ( ) 1 ( ) 0 0 dx x dx s x x s x x ∫ ∫ +α = ′ x ∈(−1,1) 得 ln s(x) − ln s(0) = αln(1+ x)
江画工太猩院 即ns(x)=ln(1+x), s(x)=(1+x),x∈(-1,1) +X 牛顿二项式展开式 0(-1)2 c(-1)…(c-n+ 1+ar+ x+… x"十 2 nk x∈ 注意:在x=土l处收敛性与a的取值有关, aS-1收敛区间为(-1,1); 1<a<1收敛区间为(-1 a>1收敛区间为-1
江西理工大学理学院 即 ln ( ) ln(1 ) , α s x = + x ( ) (1 ) , α ∴ s x = + x x ∈(−1,1) L L L + α α − α − + + + α α − = + α + ∴ + α n x n n x x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 (1 ) 2 x ∈(−1,1) 牛顿二项式展开式 注意: 在x = ±1处收敛性与α的取值有关. α ≤ −1 收敛区间为(−1,1); − 1 < α < 1 收敛区间为(−1,1]; α > 1 收敛区间为[−1,1]
江画工太猩院 当a=-1±时,有 1-x+x2-x3+…+(-1)"x"+…(-1,1) 1+r 1+x=1+2x-242:46 1.3 x+…+(n1(2n-3)!n (2n) 2421x3+…+(1)22n-1) 1.3 1.3.5 1--x+—x /1+x 2n 双阶)
江西理工大学理学院 当 时, 有 21 α = −1,± 1 ( 1) ( 1,1) 1 1 2 3 = − + − + + − + − + x x x L n x n L x [ 1,1] (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 4 6 1 3 2 41 21 1 1 2 3 1 − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = + − L n− x n L n n x x x x ( 1,1] (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 21 1 11 2 3 − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + + L n x n L n n x x x x 双阶乘
江画工太猩院 2问接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换, 四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方 法求展开式 例如cosx=(sinx) 2n+1 sinx=x-x3+x2-…+(-1) 3,5! (2n+1) ∴C0x=/1,2,1, 2!4! x∈(-0,+00
江西理工大学理学院 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 cos x = (sin x)′ ∴ = − + −L+ − +L (2 )! ( 1) 4!1 2!1 cos 1 2 2 4 nx x x x n n x ∈(−∞,+∞) Q L +L + = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5!1 3!1 sin 2 1 3 5 nx x x x x n n