江画工太猩院 第四节 格林公式及其用二
江西理工大学理学院 第四节 格林公式及其应用二
江西理工大学理学院 、曲线积分与路径无关的定义 如果在区域G内有 y Pax Qdy L B G Pdx+ Qdy L 2 则称曲线积分Pdx+dy 在G内与路径无关,否则与路径有关 其中L、L2是在G内从A到B的任意两条曲线 定 在区域D内曲线积分Pdx+dy与路径无关的充要 L 理条件是在区域D内沿任意一封闭曲线的积分为零
江西理工大学理学院 G y o x ∫ + L1 Pdx Qdy 则称曲线积分∫ + L Pdx Qdy 在G内与路径无关, 一、曲线积分与路径无关的定义 ∫ + L2 Pdx Qdy L1 L2 ⋅B A⋅ 如果在区域G内有 = 否则与路径有关. 其中L1、L2是在G内从A到B的任意两条曲线 定 理 条件是在区域 内沿任意一封闭曲线的 积分为零 . 在区域 内曲线积分 与路径无关的充要 D D Pdx Qdy L∫ +
江画工太猩院 曲线积分与路径无关的条件 定理2设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分P+Q在G内与路径无关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 aP 00 要条件是 在G内恒成立
江西理工大学理学院 二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域 G是一个单连通域, 函数 P ( x , y), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 ∫ + L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关 （或沿 G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充 要条件是 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 在 G内恒成立. 定理2
证明:充分性: 江画工太猩院 在G内任取一条有向光滑闭曲线L,由于G是 单连通的,所以闭曲线L所围成的区域D全部在G内, 「Pk+②=士∫ 00 OP )dxdy ax dy 00 oP 又 在G上恒成立,P+h=0 即曲线积分PQ在G内与路径无关 必要性: 已知曲线积分Px+⑩小在G内与路径无关, 则该积分在G内沿任意闭曲线的曲线积分为零
江西理工大学理学院 证明：充分性： 在G内任取一条有向光滑闭 曲线L,由于G是 单连通的,所以闭曲线 L所围成的区域 D全部在G内, ∫ + L Q Pdx Qdy dxdy yP xQ D ( ) ∂∂ − ∂∂ = ±∫∫ 又 在G上恒成立 , y P x Q ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ + = 0 ∫L Pdx Qdy 即曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关. L∫ + 必要性： 已知曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关 , L∫ + 则该积分在G内沿任意闭曲线的曲线积分为零
用反证法, 江画工太猩院 d0 OP 设 在G内不恒成立,则在G内至少有一点M ax ay 使( 0QaP、 )Mn≠=0,不妨设 80 aP )=n>0. 由于,在G内连续,因此必可找到一个以M为圆心 ax ay 半径足够小的圆形域K,使得在K上恒有: 00 OP ≥,设L是K的正向边界曲线,o是K的面积, k Pdx+gdy 0Q_0Phv>o>0.矛盾! K x ay
江西理工大学理学院 用反证法， 0 G , G M y P x Q 设 在 内不恒成立 则在 内至少有一点 ∂∂ = ∂∂ ( )| 0, 0 ≠ ∂∂ − ∂∂ M yP xQ 使 ( )| 0. 0 = > ∂∂ − ∂∂ M η yP xQ 不妨设 由于 , 在G内连续,因此必可找到一个以 M0为圆心 y P x Q ∂ ∂ ∂ ∂ 半径足够小的圆形域 K,使得在K上恒有 : , 2 η≥ ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x Q 设L是K的正向边界曲线,σ是K的面积, ∴ + = ∫L Pdx Qdy dxdy yP xQ K ( ) ∂∂ − ∂∂ ∫∫ σ η2 ≥ > 0. 矛盾！