中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3（3）线性方程组小结

123 32 00000 000 200 600 00000 000 runk(A)=2<5,所以原方程组有非零解 「x1=x3+x4+5 x2=-2x3-2x4-6X5 同解方程组为 4 xs=x5 K心

            → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 1 2 3 3 7             − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 1 0 1 1 5 rank(A) = 2  5, 所以原方程组有非零解. 同解方程组为          = = = = − − − = + + 5 5 4 4 3 3 2 3 4 5 1 3 4 5 2 2 6 5 x x x x x x x x x x x x x x

5 2 2 2 6 ∴x=x3|=x31|+x40|+xs 001 5 2 2 6 =k1+k20+k0=k151+k252+k353 0 0 0 1)(k,k2,k3∈R) K心

                 = 5 4 3 2 1 x x x x x x                 − = 0 0 1 2 1 3 x                 − + 0 1 0 2 1 4 x                 − + 1 0 0 6 5 5 x                 − +                 − +                 − = 1 0 0 6 5 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 k1 k2 k3 . = k11 + k2 2 + k3 3 ( , , ) k1 k2 k3  R

ex2.解线性方程组 2x1-x2+4x3-3x4=-4 +x3-x4=-3 3x,ttx +7x3-3x4=3 Solution.对方程组的增广矩阵作初等行变换: 2-14-3-4 0 3 101-1-301-20-8 B → 31101 00016 707-33 K心

ex2. 解线性方程组        + − = + + = + − = − − + − = − 7 7 3 3 3 1 3 2 4 3 4 1 3 4 1 2 3 1 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x Solution. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:             − − − − − − = 7 0 7 3 3 3 1 1 0 1 1 0 1 1 3 2 1 4 3 4 B             − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 0 1 2 0 8 1 0 1 1 3

10103 同解方程组为 3 → 000 3 8+2. 6 3 3 8 8 234 +k (k∈R 0 0 K心

            − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 0 1 2 0 8 1 0 1 0 3 同解方程组为        1 = − 3 x 3 x x2 = −8 + 2x3 x4 = 6 x3 = x3 =              4 3 2 1 x x x x             − 6 0 8 3             − + 0 1 2 1 3 x ( ) 0 1 2 1 6 0 8 3 k k  R            − +             − =

ex3.设有方程组 (孔-2)x1-2x2+2x3=0 2x1+(-5)x2+4x3=0 2x1+4x2+(九-5)x3=0 当入为何值时,齐次线性方程组有非零解? 有非零解时,求出通解及基础解系 Solution 方法1: -2 2 2 42-5 2-54 24-54 24元-5(-2-22 K心

ex3. 设有方程组      + + − = − + − + = − − + = 2 4 ( 5) 0 2 ( 5) 4 0 ( 2) 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    当为何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 有非零解时, 求出通解及基础解系. Solution. 方法1：           − − − − − = 2 4 5 2 5 4 2 2 2     A           − − − − − → 2 2 2 2 5 4 2 4 5   