3非齐次线性方程组Ax=b 结论1.Ax=b相容(有解)兮rmk(4)=mmk(B) 结论2.rmnk(4)≠mmnk(B)台Ax=b不相容(无解) 结论3 Ax=b有唯一解分rmnk(4)=rmnk(B)=m(A的列数 结论4设x=m1及x=m2都是4x=b的解,则x=m1-m2 为对应的齐次方程组Ax=O的解 结论5设x=m是方程组Ax=b的解,x=是4x=O的解, 则x=2+m仍是方程组Ax=b的解 K心
3. 非齐次线性方程组Ax=b 结论1. Ax = b相容(有解) rank(A) = rank(B). 结论2. rank(A) rank(B) Ax = b不相容(无解). 结论3. Ax = b有唯一解 rank(A) = rank(B) = n(A的列数). 结论4. . , 1 2 1 2 为对应的齐次方程组 的解 设 及 都是 的解 则 Ax O x x Ax b x = = = = = − 结论5. . , , 则 仍是方程组 的解 设 是方程组 的解 是 的解 x Ax b x Ax b x Ax O = + = = = = =
结论6若m*是Ax=b的一个特解,ξ是Ax=0的通解, 则Ax=b的通解为x=m*+ 求解4X=b的步骤 (1)将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)判断:r(4)≠r(B),方程组无解 r(A)=r(B)=n,方程组有唯一解 r(A)=r(B)<,方程组有无穷多解 (3写出含有自由未知数的同解方程组; (4)令自由未知数全为0得一个特解, 并求出Ax=O的基础解系 5)写出通解x=7+k151+…+kn-n=r K心
结论6. * . * , 0 , = = + = = Ax b x Ax b Ax 则 的通解为 若 是 的一个特解 是 的通解 求解AX = b的步骤 (1) 将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2) 判断: r(A) r(B), 方程组无解. r(A) = r(B) = n, 方程组有唯一解. r(A) = r(B) n, 方程组有无穷多解. (3) 写出含有自由未知数的同解方程组; (4) 令自由未知数全为0得一个特解 *, 并求出Ax=O的基础解系. (5) 写出通解 . 1 1 n r n r x k k − − = + ++
4.关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 结论1.如果线性方程组的系数行列式不等于0,则方 程组一定有解,且解是唯一的 结论2.如果线性方程组无解或有两个不同的解,则 它的系数行列式必为0 结论3如果齐次线性方程组的系数行列式A≠0, 则齐次线性方程组只有唯一零解 结论4.如果齐次线性方程组有非零解,则它的 系数行列式A=0 K心
4. 关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 结论1. 如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方 程组一定有解，且解是唯一的. 结论2. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为0. 结论3. 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组只有唯一零解. A 0, 结论4. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的 系数行列式 A = 0
5.关于矩阵秩的几个结论 结论1.设A,B是两个同型矩阵, 则r(A+B)≤r(4)+r(B) 结论2设A,B分别是m×n和nxs矩阵,AB=O, 则r(A)+r(B)≤n 结论3r(AB)≤mn{r(A),r(B 结论4设4,B分别是m×n和nxs矩阵 则r(AB)≥r(A)+r(B)-n K心
5. 关于矩阵秩的几个结论 ( ) ( ) ( ). 1. , , r A B r A r B A B 则 + + 结论 设 是两个同型矩阵 ( ) ( ) . 2. , , , r A r B n A B m n n s AB O + = 则 结论 设 分别是 和 矩阵 结论3.r(AB) min{r(A),r(B)}. ( ) ( ) ( ) . 4. , , r AB r A r B n A B m n n s + − 则 结论 设 分别是 和 矩阵
ex1.求解下列方程组 x1+2x2+3x3+3x4+7x5=0 3X1+2x2+x3+x4-3xs=0 x2+2x3+2x4+6x5=0 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=0 Solution 12337 123 3 3211-3||04-8-8-24 01226 012 5433-1 0-6-12-12-36 K心
ex1. 求解下列方程组 + + + − = + + + = + + + − = + + + + = 5 4 3 3 0 2 2 6 0 3 2 3 0 2 3 3 7 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Solution. − − = 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 2 1 1 3 1 2 3 3 7 A − − − − − − − − → 0 6 12 12 36 0 1 2 2 6 0 4 8 8 24 1 2 3 3 7