中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter2 线性方程组的解的判定（5）

Chapter 2(5) 线性力组的解的判是 心

Chapter 2(5) 线性方程组的解的判定

线性方程组有解的判定条件 1.齐次线性方程组Ax=有非零解的条件 由方程的向量形式x1a1+x2a2+…+xnan=O可得结论 定理1.Ax=O有非零解兮rmk(4)<n 推论.Ax=O只有零解台rnk(A4)=n (若A为方阵则A≠0)

一、线性方程组有解的判定条件 1. 齐次线性方程组Ax=O有非零解的条件 . 由方程的向量形式x11 + x22 ++ xnn = O可得结论 定理1. Ax = O有非零解  rank(A)  n. 推论. Ax = O只有零解  rank(A) = n. (若A为方阵,则A  0)

2.非齐次线性方程组x有解的条件 问题:如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解 定理2n元非齐次线性方程组Anx=b有解 的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(A,b)的秩

讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b =  = 2. 非齐次线性方程组Ax=b有解的条件

小结R(4)=R(B)=nAx=b有唯一解 R(A)=R?(B)<n兮Ax=b有无穷多解. 定义:含有个参数的方程组的任一解,称为线性 方程组的通解. 非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩 阵,便可判断其是否有解。若有解,化成行最 简形矩阵,便可写出其通解;

小结 R(A)= R(B)= n  Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n  Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

线性方程组的解法 ex1求解下列方程组 x1+2x,+3x3+3x4+7xs=0 3X1+2x2+x3+x4-3xs=0 2+2x3+2x4+6x5=0 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=0 Solution 12337 23 3 321 3 4-8 8-24 0 226 1000 5433-1 -6-12-12-36

ex1. 求解下列方程组        + + + − = + + + = + + + − = + + + + = 5 4 3 3 0 2 2 6 0 3 2 3 0 2 3 3 7 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Solution.             − − = 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 2 1 1 3 1 2 3 3 7  A             − − − − − − − − → 0 6 12 12 36 0 1 2 2 6 0 4 8 8 24 1 2 3 3 7 二、线性方程组的解法