Chapter 1(2 偏导数与全微分
Chapter 1(2) 偏导数与全微分
教学要求: 1.理解偏导数的概念,并掌握各阶偏导数的求法; 2.理解全微分的概念 3.了解全微分存在的必要条件和充分条件 K心
教学要求： 1. 理解偏导数的概念, 并掌握各阶偏导数的求法; 3. 了解全微分存在的必要条件和充分条件. 2. 理解全微分的概念;
一.偏导数的定义与计算 二函数连续与偏导数的关系 高阶偏导数 四全微分 K心
一 .偏导数的定义与计算 二.函数连续与偏导数的关系 三.高阶偏导数 四.全微分
偏导数的定义与计算 1.偏导数的定义 设z=f(x,y),B(x 09y0)9 给x以增量Ax,即由B(x0,y)→P(x+△x,V0), 则得△z=f(x0+Ax,y)-f(x0,y); 给y以增量Ay,即由f(x0,y0)→>P(x0,y+△y) 则得Az=f(x,y+4y)-f(x0,V 定义.若lim △x=lim f(x0+△x,y)-f(x0,y) 存在, △x→>0△x△x->0 △ 则称此极限值为z=f(x,y)在(x0,y)处对x的偏导数 K心
一 .偏导数的定义与计算 1. 偏导数的定义 ( , ), ( , ), 0 0 0 设 z = f x y P x y , ( , ) ( , ), 0 0 0 0 0 给x以增量x 即由P x y → P x + x y ( , ) ( , ); 0 0 0 0 z f x x y f x y 则得 x = + − , ( , ) ( , ), 0 0 0 0 0 给y以增量y 即由P x y → P x y + y ( , ) ( , ); 0 0 0 0 z f x y y f x y 则得 y = + − 定义. ( , ) ( , ) . , ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 0 0 则称此极限值为 在 处对 的偏导数 若 存在 z f x y x y x x f x x y f x y x z x x x = + − = → →
记为 of Zx x=xo,f(xo, yo),Zx x=xo,f(xo, yo) axx=xo axx=x y=yo y=yo = 注意: (1)z=f(x,y)在(x0,y)处对v的偏导数为 △ im f(x0,y+△y)-f(x0,y) △y-0△yy→>0 记为 Oyr=xo ay Z y x=xo,/,(o, yo), 2y x=xo,/(xo, yo) X=X y=yo y=vo y=yo (2)=f(x,y,z)在(x,y,x)处的偏导数为 K心
, , , ( , ), , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y z f x y x f x z x y y x x x x y y x x x y y x x y y x x = = = = = = = = 记为 注意: (1) ( , ) ( , ) z = f x y 在 x0 y0 处对y的偏导数为 ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 y f x y y f x y y z y y y + − = → → , , , ( , ), , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y z f x y y f y z y y y y y x x y y y x x y y x x y y x x = = = = = = = = 记为(2) ( , , ) ( , , ) u = f x y z 在 x0 y0 z0 处的偏导数为