中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter5（3）正定二次型

Chapter 5(3 正定二次型

Chapter 5(3) 正定二次型

少列究意洲 数学要求: 1.了解惯性定理; 2.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法

教学要求： 1. 了解惯性定理; 2. 了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法

惯性定理 二正定二次型与正定矩阵 三.判定法 K

一 .惯性定理 二.正定二次型与正定矩阵 三.判定法

.惯性定理 定理1无论作怎样的可逆线性变换,由二次型∫=xAx 得到的标准形中,正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的.且p+q=(4) 设有实二次型f=x4x,它的秩为r,有两个可逆变换 x=Cy及x=P 使f=k1y2+k2y2+…+k1y2(k1≠0 及f=41+2+…+(14≠0) 则k1,…,k,中正数的个数与1,…,中正数的个数 相等

一 .惯性定理 定理1.无论作怎样的可逆线性变换, 由二次型 f = xAx 得到的标准形中, 正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的. 且 p+q=r(A). 即 ( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 设有实二次型 它的秩为 有两个可逆变换 r r r r i r r i k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz f x Ax r           = + + +  = + + +  = = = 

二正定二次型与正定矩阵 定义1对于实二次型∫=x4x,若x(≠0)∈R都有 (1)xAx>0,则/为正定二次型,A为正定矩阵; (2)x4x<0,则/为负定二次型,A为负定矩阵; (3)xAx≥0,则/为半正定二次型,A为半正定矩阵; (4)xAx≤0,则/为半负定二次型,A为半负定矩阵; (5)否则称/是不定的,A是不定的 为了方便通常以 A>0,A<0,A≥0,A≤0记4正定,负定,半正定,半负定

二.正定二次型与正定矩阵 定义1. 对于实二次型 f = xAx, 若x( 0) R n都有 (1) xAx  0,则f为正定二次型, A为正定矩阵; (2) xAx  0,则f为负定二次型, A为负定矩阵; (3) xAx  0,则f为半正定二次型, A为半正定矩阵; (4) xAx  0,则f为半负定二次型, A为半负定矩阵; (5) 否则,称f是不定的, A是不定的. 0, 0, 0, 0 , , , . , 记 正定 负定 半正定 半负定 为了方便 通常以 A  A  A  A  A