Chapter 3 线性方程组小结 K心D
Chapter 3 线性方程组小结
、内容小结 1.线性方程组的表示形式 2.齐次线性方程组 3.非齐次线性方程组 4.关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 5.关于矩阵秩的几个结论 二、题型及方法 1.利用初等变换求解线性方程组 2.讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况 3.与方程组解的结构相关的证明题 K心
一、内容小结 1. 线性方程组的表示形式 2. 齐次线性方程组 3. 非齐次线性方程组 4. 关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论 5. 关于矩阵秩的几个结论 二、题型及方法 1. 利用初等变换求解线性方程组 2. 讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况 3. 与方程组解的结构相关的证明题
1.线性方程组表示形式 aux1+a12x2+.+anxn=by x1+a2x2+…+a2nxn=b2 amIni+am2x2+.+amen=bm 其中a;为方程组的系数b为方程组的常数项 若bk=0,则方程组为齐次的; 若b≠0,则方程组为非齐次的 方程组的矩阵形式:Ax=b 方程组的向量形式:x1a1+x2a2+…+xnan=b K心
1. 线性方程组表示形式 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 其中 为方程组的系数, 为方程组的常数项. aij bk 0, . 0, ; 若 则方程组为非齐次的 若 则方程组为齐次的 = k k b b 方程组的矩阵形式： Ax = b 方程组的向量形式： x11 + x22 ++ xnn = b
结论.对于Ax=b,下列四个命题等价: (1)Ax=b有解 (2)b可由a1,a2,…,an线性表示 (3)向量组(a1,a2,…,acn,b)与(a1,a2,…an)等价 (4)rank(a1,C2,…On,b)=rnk(a1,a2,…,On) 2.齐次线性方程组Ax=0 结论1.Ax=O有非零解兮→rnk(4)<n 结论2.Ax=O只有零解兮rnk(A)=n (若A为方阵则4≠0) K心
结论. 对于Ax = b,下列四个命题等价: (1) Ax = b有解 (2) , , , b可由1 2 n线性表示 (3) ( , , , , ) ( , , , ) 向量组 1 2 n b 与 1 2 n 等价 (4) ( , , , , ) ( , , , ) 1 2 n 1 2 n rank b = rank 2. 齐次线性方程组Ax=O 结论1. Ax = O有非零解 rank(A) n. 结论2. Ax = O只有零解 rank(A) = n. (若A为方阵,则A 0)
结论3若51=(k1,…,kn),2=(1,…,ln)是Ax=O的解 则ξ=51+2仍是4x=O的解 结论4若=(k1,…kn)是4x=O的解,λ∈R, 则λ仍是Ax=O的解 求Ax=O的通解的步骤 (1)将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)当rmk(4)=m时,方程组只有零解 当rmnk(4)<m时,转到(3) (3)列出含有自由未知数的同解方程组; (4)将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系; (5)写出通觚=k15+k22+…+kn-Hnr K心
. ( , , ) , ( , , ) , 1 2 1 1 2 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn l ln Ax O = + = = = = . ( , , ) , , 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn Ax O R = = = 结论3. 结论4. 求Ax=O的通解的步骤 (1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)当rank(A) = n时,方程组只有零解, 当rank(A) n时,转到(3) (3) 列出含有自由未知数的同解方程组; (4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系; (5) . 写出通解x = k1 1 + k2 2 ++ kn−r n−r