Chapter 1 3
Chapter 1(3) 方向导数与梯度
教学要求: 1.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法 K<DD
教学要求： 1. 理解方向导数与梯度的概念, 并掌握其计算方法
方向导数 二梯度 K
一 .方向导数 二.梯度
方向导数 1.方向导数定义引入 设有z=f(x,y),射线以P(x,y)为起点 P(x,y)>1(x+△x,y+△y) f(x,y)→∫(x+△x,y+△y) 则△z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y) P(r,y) p=P|=√(△x)2+(△y)2
一 .方向导数 1. 方向导数定义引入 设有z = f (x, y),射线l以P(x, y)为起点 o x y P(x,y) P1 l ( , ) ( , ) 1 P x y P x x y y l ⎯→ + + f (x, y) → f (x + x, y + y) 则z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 2 2 1 =| PP |= (x) + (y)
定义.若lim=lim f(+Ar, y+Ay)-f(x, y) 0 0 存在,则称此极限值为f(x,y)在P点沿着方向l 的方向导数 记为 f lim ∫(x+Ax,y+△y)-f(x,y) alp→0 平行x轴:=imfx+A,y)-/(x,y) al△x->0 △ 平行轴:9=1mf(,y+今)-f(x,D Ol|4y->0 △y 显然fx,是f(x,y沿x,y轴的方向导数 沿x,y轴正向时为x,负向时为一f-f国四
. ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 记为 . , ( , ) ( , ) ( , ) lim lim 0 0 的方向导数 存在 则称此极限值为 在 点沿着方向 若 f x y P l z f x x y y f x y + + − = → → 定义. 显然fx , f y是f (x, y)沿x, y轴的方向导数 | | ( , ) ( , ) : lim | | 0 x f x x y f x y l f x x + − = → 平行 轴 | | ( , ) ( , ) : lim | | 0 y f x y y f x y l f y y + − = → 平行 轴 , , ; , . x y x y 沿x y轴正向时为f f 负向时为− f − f