Chapter 特征值与特征向量小结一 K心D
Chapter 4 特征值与特征向量小结
、内容小结 1.特征值特征向量的定义与性质 2.相似矩阵的定义与性质 3矩阵可对角化的条件 4.正交矩阵的定义与性质 5.实对称矩阵特征值特征向量的性质 K心
一、内容小结 2. 相似矩阵的定义与性质 3. 矩阵可对角化的条件 1. 特征值特征向量的定义与性质 4. 正交矩阵的定义与性质 5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质
1.特征值特征向量的定义与性质 定义设4是n阶方阵,如果存在数和n维非零列向量x 使关系式 Ax=ax 成立,那末,这样的数λ称为方阵4的特征值,非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量 (1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的 (2)属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 (3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一; 个特征向量不能属于不同的特征值 K心
1. 特征值特征向量的定义与性质 . , , , , 称为 的对应于特征值 的特征向量 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 使关系式 设 是 阶方阵 如果存在数 和 维非零列向量 A A x Ax x A n n x = 定义. (1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的． (2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． (3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
AE-A叫做4的特征多项式 (aE-A)叫做4的特征矩阵; nE-A=0叫做4的特征方程 (1)若λ是4的特征值则AE-A=0, r(E-4)<n,(E-A)x=O有非0解 (2)若4为E-A=0的k重根则称为1的代数重数 对应于,得(4E-A)x=O的基础解系中所含向量 的个数为n-mk(4E-A),称其为的几何重数 结论1.方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数 K心
E − A叫做A的特征多项式; (E − A)叫做A的特征矩阵; E − A = 0叫做A的特征方程. (1) , 若0是A的特征值 则0E − A = ( ) r 0E − A (0E − A)x = O 0, n, 有非0解. (2)若0为E − A = 0的k重根,则称k为0的代数重数. 的个数为 称其为 的 对应于 得 的基础解系中所含向量 0 0 0 0 ( ), , ( ) n rank E A E A x O − − − = 几何重数. 结论1. 方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数
结论2.对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素 结论3.方阵A与4的特征值相同 结论4.设n阶方阵A=(an)的特征值为气,A2,…,, 则有(1)A+2+…+n=a1+a2+…+am; (2)12…,=A 结论5.若λ是矩阵A的特征值,x是A的属于的特征 向量,则 (1)k是k4的特征值(是任意常数) (2)"是4的特征值(m是正整数) K心
结论2. 对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素. 结论3. 方阵A与A的特征值相同. 结论4. ( ) , , , , 1 2 则有 设n阶方阵 A = ai j 的特征值为 n (1) ; 1 + 2 ++ n = a11 + a22 ++ ann (2) . 12n = A 结论5. 若 是矩阵 A的特征值, x是 A的属于 的特征 向量, 则 (1) k是kA的特征值(k是任意常数). (2) 是A 的特征值(m是正整数). m m