江画工太猩院 3)幂级数∑a1x的和函数(x)在收敛区间 1= (-R,R)内可导,并可逐项求导任意次 即s(x)=②∑anx")y ∑(anr"y=∑m n-1 (收敛半径不变)
江西理工大学理学院 (3) 幂级数∑ ∞ n=0 n an x 的和函数s( x)在收敛区间 (−R, R)内可导, 并可逐项求导任意次. ∑ ∞ = ′ = ′ 0 ( ) ( ) n n n 即 s x a x ∑ ∞ = = ′ 0 ( ) n n n a x . 1 1 ∑ ∞ = − = n n n na x (收敛半径不变)
江画工太猩院 例1求级数∑(-1)”1的和函数 -1 解∵s(x)=∑(1)",显然(0)=0, n S(x)=1-x+x2…=,,(-1<x<1) 1+x 两边积分得 s(=ln(1+x)
江西理工大学理学院 例 1 求级数∑ ∞ = − − 1 1 ( 1) n n n n x 的和函数. 解 ( ) ( 1) , 1 1 ∑ ∞ = − = − n n n n x Qs x 显然 s(0) = 0, 两边积分得 ( ) ln(1 ) 0 s t dt x x ′ = + ∫ s′(x) = 1− x + x2 −L , 1 1+ x = (−1 < x < 1)
江画工太猩院 即s(x)-s(0)=lm(1+x) s(x)=ln(1+x), 又x=1时,∑(-11收敛 ∑(-1) =ln(1+x).(-1<xs1)
江西理工大学理学院 又 x = 1时, . 1 ( 1) 1 ∑ 1 收敛 ∞ = − − n n n ( 1) ln(1 ). 1 1 x n x n n n ∴∑ − = + ∞ = − (−1 < x ≤ 1) ∴ s(x) = ln(1+ x), 即 s(x) − s(0) = ln(1+ x)
江画工太猩院 例2求幂级数∑(n+1)x2的和函数 n=0 解设sx)=∑(n+1)x=∑nx"+∑x" -=0 2=2x∑n“,设4()=∑nx, n-=0 x)k=∑小x2a=∑x xK1
江西理工大学理学院 例 2 求幂级数∑ ∞ = + 0 (2 1) n n n x 的和函数. 解 ∑ ∞ = = + 0 ( ) (2 1) n n 设 s x n x ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + 0 0 2 n n n n nx x 2 2 , 1 1 0 ∑ ∑ ∞ = − ∞ = = n n n n Q nx x nx ( ) , 1 1 ∑ ∞ = − = n n 设A x nx A x dx n x dx n x n x ∫ ∑ ∫ ∞ = − = 1 0 1 0 ( ) ∑ ∞ = = n 1 n x , 1 x x − = | x |< 1