江画工太猩院 第二节 对坐标的曲线积分
江西理工大学理学院 第二节 对坐标的曲线积分
江西理工大学理学院 二、问题的提出 y B M 实例:变力沿曲线所作的功 Ayi L:A→B M4 M A F(x,y)=(x, y)i+2(x, y) j o X 常力所作的功W=F.AB 分割A=m,M(x,y),,(,),n=B MM=(i+(4
江西理工大学理学院 o x y A B L 一、问题的提出 Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ∆xi i 实例: 变力沿曲线所作的功 ∆y L : A → B, F x y P x y i Q x y j r r ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 L Mn−1 xn−1 yn−1 Mn = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i r r − = ∆ + ∆ W = F ⋅ AB
江画工太猩院 取F5,n)=P(5,m)+Q(5,n) M △W1≈F(5;,m)·M1M; MM 即△形1≈P,m)Ax1+Q(5,m)Ay;° 求和W=∑△W 匚近似值 ∑P(5,m)△x+Q(5,m),Ay 取极限W=im∑P(5,n)Ax+Q(5,m)4y i=l 匚精确值
江西理工大学理学院 求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 ∑ = ≈ ⋅ ∆ + ⋅ ∆ n i i i i i i i P ξ η x Q ξ η y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 ∑= → = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ n i i i i i i i W P ξ η x Q ξ η y λ 近似值 精确值 ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 ∆W ≈ P ξ η ∆x + Q ξ η ∆y ∑ = = ∆ n i W Wi 1 o x y A B L M n−1 M i M i−1 M 2 M1 ( , ) F ξ i η i ∆xi i ∆y ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ∆ ≈ ξ η ⋅ F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i r r 取 ξ η = ξ η + ξ η
江画工太猩院 、对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xoy面内从点4到点B的一条有 向光滑曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L 上有界用L上的点M(x,y1),M2(x2H2 ,Mn1(xn1,yn把L分成n个有向小弧段 M:1M1(i=1,2,…,r;M=A,Mn=B 设x=x;-x1,Ay;=y1-y1,点(ξ,n为 M21M上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时
江西理工大学理学院 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 0 , . , , ( , ) ( 1 , 2 , , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函数 在 设 为 面内从点 到点 的一条有 λ → ∆ = − ∆ = − ξ η = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B L L
江画工太猩院 ∑P5,mnA的极限存在,则称此极限为函 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 「Px)k=m∑P(5m 类似地定义「Qx,)p=imC5,m)A 0 其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段
江西理工大学理学院 ( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = ∆ ∆ ∫ ∑ ∑ = → = ξ η ξ η λ 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i LQ x y dy = ∑Q ∆y ∫ = → ξ η λ 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数 , L叫积分弧段