二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数证设u,的部分和是sn，则有lims，=s；又设ku,的部分和为s,，即n=Zku, = sn,i=lku,=ku,=ks则一lims, =limks,=klims, =ks,因此n>oo>00Ekun=kEun即n=ln=l21
21 第八章 无穷级数 证 设 1 n n u = 的部分和是 sn ，则有lim n n s s → = ；又设 1 n n ku = 的部分和为 ' sn ，即 ' 1 , n i n i ku s = = 则 ' 1 1 , n n n i i n i i s ku k u ks = = = = = 因此 ' lim lim lim , n n n n n n s ks k s ks → → → = = = 即 1 1 . n n n n ku k u = = = 二、收敛级数的基本性质
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数性质2若级数un，v，分别收敛于s和t，即nan=Zun=s, Zy,=t,n=l则级数(u,±v)也收敛，其和为s±t，即有3Z(un ±v)-Zun +Zv,222
22 第八章 无穷级数 性质 2 若级数 1 n n u = ， 1 n n v = 分别收敛于s 和t ，即 1 1 , , n n n n u s v t = = = = 则级数 ( ) 1 n n n u v = 也收敛，其和为s t ，即有 ( ) 1 1 1 . n n n n n n n u v u v = = = = + 二、收敛级数的基本性质
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数证设级数un，v,的部分和分别为 sn,tn，则级数(u,±v)的部分和n=n==为r=S,+tn，由于级数u，v,均收敛，故由极限的运算性质知n=13limr, =lim(sn +tn)=limSn +limtn = $+t,n-→00n>0即有(u,)un23
23 第八章 无穷级数 证 设级数 1 n n u = ， 1 n n v = 的部分和分别为 , s t n n ，则级数 ( ) 1 n n n u v = 的部分和 为r s t n n n = + ，由于级数 1 n n u = ， 1 n n v = 均收敛，故由极限的运算性质知 lim lim lim lim , n n n n n ( ) n n n n r s t s t s t → → → → = + = + = + 即有 ( ) 1 1 1 . n n n n n n n u v u v = = = = + 二、收敛级数的基本性质
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数3的和.例7 求级数2n(n+1)7=1-12解根据等比级数的结论，知-21n=200V而由例3知1.所以n(n+ 1)n=1sW32Z4212"n(n +1)n(n + 1)nan=24
24 第八章 无穷级数 例 7 求级数 = + + 1 ( 1) 3 2 1 n n n n 的和. 解 根据等比级数的结论, 知 =1 2 1 n n 1 2 1 1 2 = − = 1. 而由例 3 知 = + 1 ( 1) 1 n n n =1, 所以 = + + 1 ( 1) 1 2 1 n n n n = = + = + 1 1 ( 1) 3 2 1 n n n n n = 4. 二、收敛级数的基本性质
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数从性质1和2可直接得出如下推论：（1）若k0，则级数a,与ka,具有相同的收敛性；推论n=n=（2）若级数an，b，一个收敛一个发散，则级数(a,±b，）一定发散n=ln=ln=l25
25 第八章 无穷级数 从性质 1 和 2 可直接得出如下推论： 推论 （1）若k 0，则级数 1 n n a = 与 1 n n ka = 具有相同的收敛性； （2）若级数 1 n n a = ， 1 n n b = 一个收敛一个发散，则级数 ( ) 1 n n n a b = 一定发散. 二、收敛级数的基本性质