二、 收敛级数的基本性质第八章无穷级数W1的收敛性例8讨论级数2nYn=l数发散，故发散，收敛解又级数因级数子n=innn=le2-2-)T发散.故级数1on26>
26 第八章 无穷级数 例 8 讨论级数 1 2 1 2 n n n = − 的收敛性. 解 因级数 1 1 n n = 发散， 二、收敛级数的基本性质 故 1 2 n n = 发散， 故级数 1 2 1 2 n n n = − 1 1 1 2 n n n = − 发散. 又级数 1 1 2 n n = 收敛
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数如果级数tun收敛，则性质3（级数收敛的必要条件）n=llim un = 0.n-→00证设级数un收敛，且limS,=s，由于n=lun = Sn-Sn-1,故limun = lim(sn - Sn-)= lim Sn -lim Sn-1 = s- s= O27
27 第八章 无穷级数 性质 3(级数收敛的必要条件) 如果级数 1 n n u = 收敛，则 lim 0 n n u → = . 证 设级数 1 n n u = 收敛，且lim n n s s → = ，由于 1 , u s s n n n = − − 故 lim lim lim lim 0. n n n n n ( 1 1 ) n n n n u s s s s s s − − → → → → = − = − = − = 二、收敛级数的基本性质
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数由性质3可直接得出如下推论推论如果当n→8时，级数的一般项u.不趋于零，那么级数发散例如级数之(-1),·由于n=nn[u, | = (-1)"-1 1(n→)n+1n+1即lim|u,0时，一般项不趋于零，因此级数发散注一般项趋于零不是级数收敛的充分条件，事实上许多发散的级数的一般项是趋于零的，调和级数一就是一例28n=I n
28 第八章 无穷级数 由性质 3 可直接得出如下推论. 推论 如果当n →时，级数的一般项 n u 不趋于零，那么级数发散. 例如级数 ( ) 1 1 1 1 n n n n − = − + ，由于 ( ) ( ) 1 1 1 , 1 1 n n n n u n n n − = − = → → + + 即lim | | 0 n n u → 时，一般项不趋于零，因此级数发散. 注 一般项趋于零不是级数收敛的充分条件，事实上许多发散的级数的一般 项是趋于零的，调和级数 1 1 n n = 就是一例. 二、收敛级数的基本性质
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数性质4改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性证设un的部分和为sn，不妨假设在级数u,中u,改变成了vi其余不n=ln=l变，记新级数为vn，其中vn=un（n=2,3,4,），并设其部分和为sn，则有=S, = Sn +u-Vi,因此当n→oo时，s,有极限的充要条件为s,有极限，即级数vn与un有相同n=]n=/的收敛性推论级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性，29D
29 第八章 无穷级数 性质 4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性. 证 设 1 n n u = 的部分和为sn ， ' 1 1, S S u v n n = + − 因此当 n→ 时， ' sn 有极限的充要条件为 n s 有极限，即级数 1 n n v = 与 1 n n u = 有相同 的收敛性. 推论 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性. 二、收敛级数的基本性质 则有 不妨假设在级数 1 n n u = 中u1 改变成了v1 ， 其余不 变，记新级数为 1 n n v = ， 其中v u n n n = = ( 2,3,4, ) ，并设其部分和为sn
第八章内容导航第一节常数项级数的概念与性质第二节常数项级数的审敛准则第三节幂级数的收敛及函数的展开式第四节傅里叶级数
30 第八章 无穷级数 第八章 内容导航 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式 第四节 傅里叶级数 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛准则