一、常数项级数的概念第八章无穷级数0例 4 的敛散性判定级数>nn=l解un= InIn(n+1)-lnn,S, = ln2-ln1+ln3 -ln 2+...+ln(1+n)-lnn =ln(1+n)-→>oo (n-→)T故发散；nn=l16
16 第八章 无穷级数 例 4 判定级数 = + 1 1 ln 1 n n 的敛散性. 解 (n ) n n un ln 1 ln 1 ln 1 = + − = + ， Sn 故 = + 1 1 ln 1 n n 发散； 一､常数项级数的概念 = ln 2 1 = ln(1+ n)→ (n →)， − ln + ln 3 − ln 2 ++ln(1+ n) −ln n
一、常数项级数的概念第八章无穷级数1例5判定级数的敛散性(n+1)(n+21解n(n+1)(n+2)n(n+1)nt1111×2×32×3×43×4×5(n-1)n(n+1) n(n+1)(n+2)11112×3)(n+1)(n+2)1x22x33×4n(n+1)1100收敛.故级数>(n+1)(n+2) n(n+1)(n+2)n=l1700
17 第八章 无穷级数 例 5 判定级数 1 ( )( ) 1 n n n n 1 2 = + + 的敛散性. 解 ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 n n n n n n n 1 2 2 1 1 2 = − + + + + + ， ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 1 1 2 Sn n n n n n n = + + + + + − + + + 1 1 2 1 2 = ( )( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 2 4 n n n = − → → + + ， 故级数 1 ( )( ) 1 n n n n 1 2 = + + 收敛. 一､常数项级数的概念 1 2 3 − 1 2 3 + 1 3 4 − ( ) 1 n n 1 + + + ( )( ) 1 n n 1 2 − + +
一、常数项级数的概念第八章无穷级数例6证明调和级数21(2)是发散的+23n=I nn证级数(2)的前2"+项部分和是127-118
18 第八章 无穷级数 例 6 证明调和级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 = = + + + + + （2） 是发散的. 证 级数(2)的前 +1 2 m 项部分和是 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 , 2 1 2 2 2 m m m m s + + = + + + + + + + + + + + + + + 一､常数项级数的概念
一、常数项级数的概念第八章无穷级数例6证明调和级数2!(2)是发散的23nn=in111111由于3244422111888X1-故→+8(m-→8)，1119说明部分和数列无界，因此部分和数列s，发散，即调和级数(2)发散
19 第八章 无穷级数 例 6 证明调和级数 1 1 1 1 1 1 n n n 2 3 = = + + + + + （2） 是发散的. 由于 1 1 1 , 2 2 + 故 1 ( ) ( ) 2 1 1 , 2 s m m m+ + → + → 说明部分和数列无界，因此部分和数列 sn 发散，即调和级数(2)发 散. 一､常数项级数的概念 1 1 1 1 1 , 3 4 4 4 2 + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 5 6 7 8 8 8 8 8 2 + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 2 1 2 2 2 2 2 2 2 m m m m m m + + + + + + + + + + = + +
二、收敛级数的基本性质第八章无穷级数由于级数的收敛性最终归结为部分和数列的收敛性，所以利用数列极限的运算法则，容易证明级数的下列性质性质1若级数u，收敛，其和为s，则对任何常数k，级数ku,收敛，且n=n=l其和为ks，即Eku, =kEu,20
20 第八章 无穷级数 由于级数的收敛性最终归结为部分和数列的收敛性，所以利用数列极限的运 算法则，容易证明级数的下列性质. 性质 1 若级数 1 n n u = 收敛，其和为 s ，则对任何常数k ，级数 1 n n ku = 收敛，且 其和为 ks，即 1 1 . n n n n ku k u = = = 二、收敛级数的基本性质