一、常数项级数的概念第八章无穷级数当级数u收敛时，部分和S,是级数和S的近似值，它们之间的差n=r, =S-S, =un+1 +un+2 +就叫做级数u的余项，它还是一个无穷级数，且limr=lim（S-S,）=0.也即n=用近似值S,替代S的误差为r11
11 第八章 无穷级数 当级数 1 n n u = 收敛时，部分和 n S 是级数和 S 的近似值，它们之间的差 n n n n 1 2 r S S u u = − = + + + + 就叫做级数 1 n n u = 的余项，它还是一个无穷级数，且lim lim 0 n n ( ) n n r S S → → = − = . 也即 用近似值 n S 替代 S 的误差为 n r . 一､常数项级数的概念
一、常数项级数的概念第八章无穷级数例1讨论级数(等比级数）aq" =a+aq+ag?+...+aq" +... (a*0)(1)的收敛性n=01-q"S,=a+aq+aq?+..-+ag解如果q￥1,则部分和1-qα,这时级数(1)收敛.当[l<1时,由于m"=0,于是ms=n当q>1时,由于limg"=0,于是lims,=0,这时级数(1)发散当q =1时,由于s,=na→8o,因此级数(1)发散12?
12 第八章 无穷级数 例 1 讨论级数(等比级数) ( ) 2 0 0 n n n aq a aq aq aq a = = + + + + + （1） 的收敛性. 当 q 1时,由于lim 0 n n q → = ,于是lim 1 n n a s → q = − ,这时级数(1)收敛. 当 q 1时,由于lim n n q → = ,于是lim n n s → = ,这时级数(1)发散. 当q = 1时,由于 n s na = → ,因此级数(1)发散. 一､常数项级数的概念 解 如果q 1,则部分和 2 1 1 , 1 n n n q s a aq aq aq a q − − = + + + + = −
一、常数项级数的概念第八章无穷级数例1讨论级数(等比级数）aq"=a+aq+ag’+...+aq"+.. (a*0)的收敛性(1)n=01-q"S,=a+aq+aq?+..-+ag解如果g±1,则部分和1-q当n为奇数，a当q=-1时,由于s,故部分和数列没有极限，因此级数当n为偶数，0,(1)发散.综上分析可得，等比级数ag”收敛的充分必要条件是gl<1．当级数收敛n=0a时，其和等于130OU
13 第八章 无穷级数 当q = −1时,由于 , 0, n a n s n = 当 为奇数， 当 为偶数， 故部分和数列没有极限,因此级数 (1)发散. 综上分析可得， 等比级数 0 n n aq = 收敛的充分必要条件是 q 1. 当级数收敛 时, 其和等于1 a − q . 一､常数项级数的概念 例 1 讨论级数(等比级数) ( ) 2 0 0 n n n aq a aq aq aq a = = + + + + + （1） 的收敛性. 解 如果q 1,则部分和 2 1 1 , 1 n n n q s a aq aq aq a q − − = + + + + = −
一、常数项级数的概念第八章无穷级数例2证明级数1+2+3++n+是发散的n(n+ 1)证级数的部分和为s，=1+2+3+…·+2显然，lims,=8o,故题设级数发散14
14 第八章 无穷级数 例 2 证明级数 1+ 2+3++ n + 是发散的. 证 级数的部分和为 n s =1+ 2 + 3 ++ n , 2 ( +1) = n n 显然， lim = , → n n s 故题设级数发散. 一､常数项级数的概念
一、常数项级数的概念第八章无穷级数例3证明级数111是收敛的1.22.3n(n+1)111因此证由于unn+1n(n+1)n111Sn-1.2n(n+1)2.3n+1=1n+1"故所给级数是收敛的且其和为1lim Sn= lim于是n>0000nt150
15 第八章 无穷级数 例 3 证明级数 ( ) 1 1 1 + + + + 1 2 2 3 1 + n n 是收敛的. 证 由于 ( ) 1 1 1 1 1 un n n n n = = − + + ，因此 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + 1 2 2 3 1 2 2 3 1 1 1 , 1 sn n n n n n = = − + − − + + = − + 于是 1 lim lim 1 1, 1 n n n s → → n = − = + 故所给级数是收敛的且其和为 1. 一､常数项级数的概念