一、常数项级数的概念第八章无穷级数我们来看一个例子计算半径为R的圆面积A先计算内接正六边形面积a再以这正六边形的每边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形面积之和a，，则a,+a,就是正12边形的面积（见图8-1）然后以这正12边形边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形算出这12个等腰三角形面积之和α，则a+aα,+a,就是正24边形的面积，……，这样依此类推，a、a+a、a+aza、……、a+a,a++a就越来越接近圆的面积.即α+α+a,++ann→)的极限就是所求圆面积A．这时，和式中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子6
6 第八章 无穷级数 我们来看一个例子，计算半径为 R 的圆面积 A ，先计算内接正六边形面积 1 a ， 再以这正六边形的每边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六 个等腰三角形面积之和 2 a ，则 1 2 a a + 就是正12边形的面积（见图 8-1）， 一､常数项级数的概念 然后以这正12边形边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形算出这 12个等腰三角形面积之和 3 a ， 这 样依此类推， 1 a 、 1 2 a a + 、 1 2 3 a a a + + 、.、 1 2 3 n a a a a + + + + 就越来越接近圆 的面积. 即 1 2 3 n a a a a + + + + (n → ) 的极限就是所求圆面积 A . 则 1 2 3 a a a + + 就是正24 边形的面积，.， 这时，和式 中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子
一、常数项级数的概念第八章无穷级数定义1设有数列(u，（n=1,2,..），将数列(n=1,2,）(u，中的各项用加号连接的形式u +u,+..+un+.0称为常数项无穷级数，简称级数，记为>u，，其中匕是求和记号n，称为下n=标变量，第u项称为级数的一般项（通项）
7 第八章 无穷级数 定义 1 设有数列un (n =1,2, ) ，将数列(n =1,2, ) un 中的各项用加号 连接的形式 1 2 n u u u + + + + 称为常数项无穷级数，简称级数，记为 1 n n u = ， 一､常数项级数的概念 其 中 是求和记号 n ，称为下 标变量，第 n u 项称为级数的一般项（通项）
一、常数项级数的概念第八章无穷级数定义2对数列u,uz,u,…u,…，取它的前n项的和S, =u +u, +u +..+u, -Zu.i=S称为级数的部分和（前n项之和）令n=1,2.3..……….，得到了由级数部分和所构成的序列（数列）：S =u, S, =u +u.....S, =u, +u +uy +...+un根据部分和序列有没有极限，来引进无穷级数收敛与发散的定义8>
8 第八章 无穷级数 定义 2 对数列 1 2 3 , , , , n u u u u ，取它的前n项的和 1 2 3 1 n n n i i S u u u u u = = + + + + = ， n S 称为级数的部分和（前n项之和）. 令n =1,2,3,.，得到了由级数部分和所构成的序列（数列）： 1 1 S u = ， 2 1 2 S u u = + ，. n n 1 2 3 S u u u u = + + + + ，.， 根据部分和序列有没有极限，来引进无穷级数收敛与发散的定义. 一､常数项级数的概念
一、常数项级数的概念第八章无穷级数定义3若级数的部分和数列（s有极限S，即limS,=S，则称无穷级数00Zu.y收敛，这时，极限S就叫做无穷级数u,的和，并写成u=S；n=ln=ln=l若数列(S,)没有极限，则称无穷级数u,发散n=l由此可见，讨论无穷级数的收敛问题，实际上就是讨论部分和数列的极限是否存在9
9 第八章 无穷级数 定义 3 若级数的部分和数列Sn 有极限 S ， 即lim n n S S → = ，则称无穷级数 1 n n u = 收敛，这时，极限 S 就叫做无穷级数 1 n n u = 的和，并写成 1 n n u S = = ； 一､常数项级数的概念 由此可见，讨论无穷级数的收敛问题，实际上就是讨论部分和数列的极限是 否存在. 若数列Sn 没有极限，则称无穷级数 1 n n u = 发散
一、常数项级数的概念第八章无穷级数O一方面，由级数的收敛定义可知，若u,的部分和数列s.有limS.=S,则n=1级数u,收敛且和为S；反之，若给出一个数列(S，令n=u =S、 u, =S,-S、....u,=S,-S.--8则该级数u,白的部分和数列(S,，于是，若limS,=Sn=l则有u,=S,+(S,-S,)收敛且和为 S.10
10 第八章 无穷级数 一方面，由级数的收敛定义可知，若 1 n n u = 的部分和数列Sn 有lim n n S S → = ，则 级数 1 n n u = 收敛且和为 S ; 反之，若给出一个数列Sn ，令 1 1 u S = 、 2 2 1 u S S = − 、. n n n-1 u S S = − ，.， 则该级数 1 n n u = 的部分和数列Sn ，于是，若lim n n S S → = ， 一､常数项级数的概念 则有 1 -1 ( ) 1 2 n n n + n n u S S S = = = − 收敛且和为 S