《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第4章 相似矩阵及二次型

>>>>三、施密特正交化过程第4章相似矩阵及二次型11设ααα是向量空间的一个基，从基αα2"α出发，找一组两两正交的单位向量2，使与αα，α等价，这个过程称为把基ααα规范正交化具体步骤如下：第一步，将基ααzα,正交化（施密特（Schmidt）正交化过程）.β, =α,[B.a] p.β,=α, -[B.P][β,α,][B.a] p.β,=a,即取[B.P][β.,B.]′[β,α,][β,α,][β,,a,]β,=a,BD[B,β.][P,]β.-.P1第二步，将ββ，β单位化，得到BEEBB于是，55，专，就是V的一个规范正交基

第4章 相似矩阵及二次型 11 设 1 2 , , ,   r 是向量空间V 的一个基，从基 1 2 , , ,   r 出发，找一组两两正交的单位向量， 使 1 2 , , , r    与 1 2 , , ,   r 等价， 这个过程称为把基 1 2 , , ,   r 规范正交化. 具体步骤如下： 第一步，将基 1 2 , , ,   r 正交化（施密特（Schmidt）正交化过程）. 即取                         1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 , , , , , , , , , , , , . , , , r r r r r r r r r − − − − = = − = − − = − − − −                                       第二步，将 1 2 , , ,    r 单位化， 得到 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , r r r       = = =    于是， 1 2 , , , r    就是V 的一个规范正交基. 三、施密特正交化过程 1 2 , , ,    r

三、施密特正交化过程第4章相似矩阵及二次型12设%例2是R的一个基，求一个与α，α,α等价的规范正交基解取0aa-0-1β, =α,516[8.a],e- 8.a],p.-1163β, =α, -11[B.B.]B.B1PI2再将β.β2.β,单位化，得到S专1,52,5即为所求

第4章 相似矩阵及二次型 12 例 2 设 1 2 3 1 0 2 1 , 4 , 1 1 1 1       −       = = =                   −    是 3 R 的一个基，求一个与 1 2 3    , , 等价的规范正交基. 取             1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 1 1 , 1 0 1 1 , 3 4 1 3 , , 3 1 1 2 5 6 2 1 1 , , 2 7 1 1 1 3 , , , 3 14 6 1 1 2 2 3     = =       −       −       = − = − =                   −   −        − −         −   = − − = − − =         −             −                        再将 1 2 3    , , 单位化，得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 , 3 , 1 3 14 42 1 2 4       − −       = = = = = =       − −       ，    1 2 3    , , 即为所求. 三、施密特正交化过程 解

三、施密特正交化过程第4章相似矩阵及二次型13例3已知%求一组非零向量αα，使ααα两两正交解α应满足方程x=0，即x-+=0,105=52它的基础解系为=（0-1)[a2,5]0=+2[a,,a]0则ααα两两正交

第4章 相似矩阵及二次型 13 已知 1 1 1 1     = −       ，求一组非零向量 2 3  , ，使 1 2 3    , , 两两正交. 2 3  , 应满足方程 T 1  x = 0， 即 1 2 3 x x x − + = 0， 它的基础解系为 1 2 1 1 1 , 0 , 0 1         = =             −   令     2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 1 1 1 , 1 1 1 , 0 1 1 , 2 2 0 1 0 2                 = = = − = − = −         − − ，          则 1 2 3    , , 两两正交. 三、施密特正交化过程 解 例3

四、正交矩阵第4章相似矩阵及二次型14定义6如果n阶矩阵A满足ATA=E（即A-=A），那么称A为正交矩阵，简称正交阵定理2设矩阵A是n阶方阵，则下列结论等价：A是n阶正交阵；2A的列向量组是R"的一个规范正交基；4A的行向量组是R"的一个规范正交基证明(1)一(2)：将矩阵A按列分块A=(α,α"α.）如果A是n阶正交阵，aY则公式AA=E可表示为a当i=jα,a,=8,(i, j=12,,n),亦即0当ij这说明A的列向量都是n维单位向量且两两正交，从而是R”的一个规范正交基

第4章 相似矩阵及二次型 14 定义 6 如果n 阶矩阵 满足 ( ) T 1 T , −     = = E 即 那么称 为正交矩阵，简称正交阵. 定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价： (1) (2)  ： 将矩阵  按列分块     = ( 1 2 , , , n ) ， 如果 是n 阶正交阵， 则公式 T   = E 可表示为 ( ) T 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 T n T n         =     ，       亦即 ( ) 1, , , 1,2, , 0, T i j ij i j i j n i j  = = = =    当 ， 当    这说明 的列向量都是 n 维单位向量，且两两正交，从而是 n R 的一个规范正交基. 四、正交矩阵  是 n 阶正交阵；  的行向量组是 n R 的一个规范正交基.  的列向量组是 n R 的一个规范正交基； 证明 1 2 3

四、正交矩阵第4章相似矩阵及二次型15因为AA=E与AAT=E等价，所以将矩阵A按行分块A(1)≤(3):于是公式AA=E可表示为PBAAT(B,β2,,β.)BT当i=j,(i,j=1,2,.,n)BB=e所以当￥即：A的行向量也都是n维单位向量，且两两正交，从而是R”的一个规范正交基:

第4章 相似矩阵及二次型 15 (1) (3)  ： 因为 T A A E = 与 T AA E = 等价，所以将矩阵 按行分块 T 1T 2T n     =  ，    于是公式 T AA E= 可表示为 ( ) T 1T T 2 1 2 T 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 n n         = =    ，       所以 ( ) 1, , , 1,2, , 0, T i j ij i j i j n i j  = = = =    当 ， 当    即： 的行向量也都是 n 维单位向量，且两两正交，从而是 n R 的一个规范正交基. 四、正交矩阵