四、正交矩阵第4章相似矩阵及二次型16-121-21-21-21-21-2112121-22例4验证矩阵P2112112是正交阵1-21-22-12证明容易验证P的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交阵正交矩阵具有如下性质：(）若A为正交阵，则A-=AT也是正交阵，且A=1或-1；(ii）若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵定义7若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换.设y=Px为正交变换则有=y=VPx=x=x因此正交变换保持向量的长度不变
第4章 相似矩阵及二次型 16 验证矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 − − − − = − − P 是正交阵. 容易验证 P 的每个列向量都是单位向量，且两两正交， 所以 P 是正交阵. 正交矩阵具有如下性质： (i) 若 A 为正交阵,则 −1 T A A = 也是正交阵，且 A =1 或−1； (ii) 若 A和B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵. 定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px = 称为正交变换. 设 y Px = 为正交变换， 则有 T T T T y y y x P Px x x x = = = = . 因此正交变换保持向量的长度不变. 四、正交矩阵 证明 例4
目录/Contents?E4.1向量的内积、长度及正交性4.2方阵的特征值与特征向量4.3相似矩阵4.4实对称矩阵的相似对角化4.5二次型及其标准形4.6正定二次型与正定矩阵
第4章 相似矩阵及二次型 17 目录/Contents 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 向量的内积、长度及正交性 相似矩阵 实对称矩阵的相似对角化 二次型及其标准形 正定二次型与正定矩阵 方阵的特征值与特征向量
目录/Contents?兰4.2方阵的特征值与特征向量、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法二、方阵的特征值与特征向量的性质
第4章 相似矩阵及二次型 18 目录/Contents 4.2 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的 概念及其求法 二、方阵的特征值与特征向量的性质
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法第4章相似矩阵及二次型19定义设A是n阶矩阵，如果数入和n维非零列向量使关系式Aa=na成立，那么数入称为矩阵A的特征值，非零向量α称为A的对应于特征值入的特征向量例如，矩阵A=，则有Aα==所以数3是矩阵A的特征值，α是A的对应于特征值3的特征向量
第4章 相似矩阵及二次型 19 定 义 设 A 是 n 阶矩阵, 如果数 和 n 维非零列向量 使关系式 A = 那么数 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 称为 A 的对应于特征值 的特征向量. 例如，矩阵 1 2 0 0 3 0 2 1 1 − = − A ， 1 2 1 = ，则有 1 2 0 1 3 1 0 3 0 2 6 3 2 2 1 1 1 3 1 − = = = − A 所以数3是矩阵 A 的特征值， 是 A 的对应于特征值3的特征向量. 成立， 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法第4章相似矩阵及二次型20一个任意给定的n阶矩阵A会有多少个特征值？对应的特征向量又该如何求呢？假设矩阵A有特征值2，对应于特征值的特征向量为α，则有Aα=入α将Aα=α改写成(A-nE)α=0,可见，α是n个未知数个方程的齐次线性方程组（A-入E)x=0的非零解而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即A-2E=0
第4章 相似矩阵及二次型 20 ( A E − = ) 0， 可见， 是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0 的非零解. A E − = 0 假设矩阵 A 有特征值 ，对应于特征值 的特征向量为 ，则有 A = . 一个任意给定的 n 阶矩阵 A 会有多少个特征值？对应的特征向量又该如何求呢？ 而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即 将 A = 改写成 一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法