《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第4章 相似矩阵及二次型

一、向量的内积、长度第4章相似矩阵及二次型6x+≤[x,]+2 /[x,[,+[,]=+2+=(+)”从而即Ix+ ≤x+.当[x=1时，称x为单位向量.如果α0，取β=~,则β是一个单位向量.由向量α得到单位向量β的过程称为把向量α单位化定义3当x±0,±0时[x,y]0=arccos称为n维向量x与y的夹角1-11当[x,J]=0时，称向量x与y正交显然，若x=0，则X与任何向量都正交

第4章 相似矩阵及二次型 6 从而        ( ) 2 2 2 2 x y x x x x y y y y x x y y x y +  + + = + + = + , 2 , , , 2 ， 即 x y x y +  + . 当 x =1时，称 x 为单位向量. 如果  0，取 =    ，则 是一个单位向量. 由向量 得到单位向量 的过程称为把向量 单位化. 定义 3 当 x y   0 0 , 时,  ,   = arccos x y x y 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 x y, 0  = 时，称向量 x 与 y 正交. 显然，若 x = 0，则 x 与任何向量都正交. 一、向量的内积、长度

、正交向量组第4章相似矩阵及二次型定义4由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组例如，向量组0000(0002022与向量组322上都是正交向量组

第4章 相似矩阵及二次型 7 定义 4 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组. 例如， 向量组 1 0 0 0 , 2 , 0 003                               与向量组 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 , , , 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2                                                      −        都是正交向量组. 二、正交向量组

>>二、正交向量组第4章相似矩阵及二次型8定理1若n维向量组ααz"α是一个正交向量组，则ααz"αm线性无关设有常数，2，,m，使na +a, +...+a.α.=0,以α (i=1,2,m)左乘上式两端，当ji时，αfα,=0，从而有α,α,=0(i=1,2,m)，因α,±0(i=1,2,,m),故α,α,*0于是必有=0（i=1,2,m），所以向量组αα2，·,α线性无关

第 4 章 相似矩阵及二次型 8 定理 1 若 n 维向量组 1 2 , , ,    m是一个正交向量组，则 1 2 , , ,    m 线性无关. 设有常数 1 2 , , ,   m，使    1 1 2 2 + + + = m m    0， 以 ( ) T 1,2, , i  i m = 左乘上式两端， 当 j i  时， T 0  i j = ， 从而有 ( ) T 0 1,2, , i i i   = =i m ， 因i  = 0(i m 1,2, , )， 故 T 0  i i  ， 于是必有i = = 0 1,2, , (i m )， 所以向量组 1 2 , , ,    m 线性无关. 二、正交向量组

二、正交向量组第4章相似矩阵及二次型9例1已知3维空间?中的两个向量α正交，试求一个非零向量α使α,α，α两两正交记解α应满足齐次线性方程组Ax=0，即对系数矩阵A实施初等行变换，有1X=X3C得=0，从而有基础解系取%则α，为所求

第4章 相似矩阵及二次型 9 例 1 已知 3 维空间 3中的两个向量 1 2 1 1 1 , 2 1 1         = − =             − −   正交，试求一个非零向量 3 ，使 1 2 3    , , 两两正交. 记 T 1 T 2 111 1 2 1     − − = =       −   A ，    3 应满足齐次线性方程组 Ax = 0， 对系数矩阵 A 实施初等行变换，有 1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x x x       − −       =     −   即 ， 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 3 0 0 1 0       − − − − − = → →             − A ， 得 1 3 2 0 x x x  =   = ， 从而有基础解系 1 0 1           . 取 3 1 0 1     =        ，则 3为所求. 二、正交向量组 解

二、正交向量组第4章相似矩阵及二次型10定义5设n维向量组5.525，是向量空间V（VcR"）的一个基，如果5，5，两两正交，且都是单位向量，则称555，是的一个规范正交基例如，n维单位坐标向量e,e2,e，就是R"的一个规范正交基2lm司1132-32-3213-13213就是R的一个规范正交基525.=向量组专-1m若5.525.是V的一个规范正交基，那么V中任一向量β都能由51,52,5.线性表示，设表示式为β=15+25,+...+n5,用(=l)左乘上式，有===,)，即=-=)

第4章 相似矩阵及二次型 10 定义 5 设 n 维向量组 1 2 , , , r    是向量空间 ( ) n V V  R 的一个基，如果 1 2 , , , r    两两正交， 则称 1 2 , , , r    是V 的一个规范正交基. 例如， n 维单位坐标向量 1 2 , , , n e e e 就是 n R 的一个规范正交基. 向量组 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2 2 , , 3 3 3 2 1 2 3 3 3       −                   = = =                   −          就是 3 R 的一个规范正交基. 若 1 2 , , , r    是V 的一个规范正交基， 那么V 中任一向量 都能由 1 2 , , , r    线性表示， 设表示式为     = + + +    1 2 2 r r， 用 ( ) T 1, , i  i r = 左乘上式，有 ( ) T T 1, , i i i i i     = = =   i r ，即 ( ) T , 1, , . i i i  = = =   i r       二、正交向量组 且都是单位向量