x=rsingpcosg(15)y=rsinpsine,==rcosp由于-rsingpsingsinpcosarcospcosg(x,y,z)9 rsinpcosesinpsingrcospsinga(r,p,0)0cosp-rsinp=r sinp,所以在=r2sin@±0即除去z轴上的一切点，由方程组（15）可确定出r,0,p为x,J,z(x>0)的函数，即Vr=/x?+y?+2,0=arctan@=arccos注：1)关于球、柱面坐标系，参阅本节教案的附录1例4（P156，略）设β为二元可微函数，对于函数组u=x+at,v=x-at,试把弦振动方程20p_0g(a>0)-ax?at?变换成以u,v为自变量的形式。解 首先有u,=V, =1,=-1, =4,从而S(%)=-2a 0, 因此所设变换存在 a(x,t)逆变换，而且又有du=u,dx+u,dt=dx+adtdv=dx-adt于是按微分形式不变性，得到dp=P,du+ p,dv=(pu +p,)dx + a(Pu-p,)dt并由此推知Px=Pu+P,P,=aPu-p)按此继续求以u,为自变量的与,如下：aa(pu+p,)ux(u+0)P"OuOv
cos . sin sin , sin cos , z r y r x r （15） 由于 cos sin 0 sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin ( , , ) ( , , ) r r r r r r x y z sin , 2 r 所以在 sin 0 2 r 即除去 z 轴上的一切点，由方程组（15）可确定出 r,, 为 x, y,z(x 0) 的函数，即 , arctan , arccos . 2 2 2 r z x y r x y z ▊ 注．：1)关于球、柱面坐标系，参阅本节教案的附录Ⅰ 例 4（P156，略） 设 为二元可微函数，对于函数组 u x at,v x at, 试 把弦振动方程 ( 0) 2 2 2 2 2 a x t a 变换成以 u,v 为自变量的形式。 解 首先有 u v 1,u v a, x x t t 从而 2 0, ( , ) ( , ) a x t u v 因此所设变换存在 逆变换，而且又有 du u dx u dt dx adt,dv dx adt. x t 于是按微分形式不变性，得到 d du dv ( )dx a( )dt, u v u v u v 并由此推知 , ( ). x u v t a u v 按此继续求以 u,v 为自变量的 xx 与 tt 如下： xx u v x u v x v v u u ( ) ( )
=Pu+Pu+P+Pw=Puu+2P+Pwaa(pu-)upu-p)Pu=a-auav=a(P-2+P)借助这些结果就得到aP-Pu=4aP=0即把原来以x,t作为自变量的弦振动方程变换成以u,v做为新自变量的方程为80=0.Ouo而且进一步容易求得此方程的解的形式为=f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at)（参见第十七章总练习题7）
2 , u u vu u v vv u u u v vv u u v t u v t v v u u a ( ) ( ) ( 2 ). 2 a uu uv vv 借助这些结果就得到 4 0, 2 2 a xx u a uv 即把原来以 x,t 作为自变量的弦振动方程变换成以 u,v 做为新自变量的方程 为 0. 2 u v 而且进一步容易求得此方程的解的形式为 f (u) g(v) f (x at) g(x at) （参见第十七章总练习题 7）。 ▊
附录I1．球面坐标系在球面坐标系中,空间点P(x,y,=)用(p.0.0)表示其中r=psingx=rcoso=psinpcosoy=rsing=psinpsingz=pcos@其中0p+00,0≤0≤2元，≤≤当p=常数：中心在原点的球面；当Q=常数：过=轴的半平面；当=常数：顶点在原点，中心轴为轴的圆锥面：2.柱面坐标系在直角坐标系中当xoy面上点用极坐标表示时对应空间点P(x,J,=)可用(p,0,=)表示其中x,y与p,o之间关系为x=pcosg,y=psing,Z= Z当p=常数：以-轴为中心轴的圆柱面；当0=常数：过=轴的半平面；当z=常数：垂直于=轴的平面；
附录Ⅰ 1．球面坐标系 ( , , ) . , ( , , ) 表示 在球面坐标系中 空间点 用 P x y z o x y z P P 其中r sin x r cos sin cos, r z cos 其中0 , 0 2 , 0 . 当 常数： 中心在原点的球面； 当 常数： 过z轴的半平面； 当 常数： 顶点在原点，中心轴为z轴的圆锥面； y rsin sin sin. z 2．柱面坐标系 ( , , ) ( , , ) . , 对应空间点 可用 表示 在直角坐标系中 当 面上点用极坐标表示时 P x y z z xoy o x y z P P z 其中x, y与,之间关系为: x cos, y sin 当 常数： 以z轴为中心轴的圆柱面； 当 常数： 过z轴的半平面； 当z 常数： 垂直于z轴的平面；,z z
思考与练习定义隐函数组定理小反函数组和坐标变换结课后作业：149页1，2（2），3（1)；与作业教学反思
思 考 与 练 习 小 结 与 作 业 定义 隐函数组 定理 反函数组和坐标变换 课后作业：149 页 1，2（2），3（1）； 教 学 反 思
授课题目4学时818.3几何应用由隐函数（组）的导数表示曲线的切线与法平面教学内容曲面的切平面与法线的求法。掌握由隐函数（组）的导数表示曲线的切线与法平面教学目标曲面的切平面与法线的求法。教学重点隐函数存在唯一性定理的应用。教学难点隐函数存在条件的验证。讲授法教学方法课程导入讲授新课思考练习小结与作业教学过程设计教学过程及授课内容注释课程导入
授课题目 §18.3 几何应用 4 学时 教学内容 由隐函数（组）的导数表示曲线的切线与法平面， 曲面的切平面与法线的求法。 教学目标 掌握由隐函数（组）的导数表示曲线的切线与法平面， 曲面的切平面与法线的求法。 教学重点 隐函数存在唯一性定理的应用。 教学难点 隐函数存在条件的验证。 教学方法 讲授法 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入