沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义三）第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量非正常积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分

FF.df：行列式称为函数 F(x,J,u,V)、G(x,J,u,v)关于变量u,V的函数行列式GuG,a(F,G)（或雅可比(Jacobi）行列式），亦可记作a(u,v)FuF.注：1)上述结论中±0.只是ur、V、u,、y,可解的一个充分条件G.G.FF而非必要的。事实上=0.则u、V、uy、,可能有多组解或无GG.解。定理18.4（隐函数组定理）若(i)F(x,y,u,v)与G(xy,u,v)在以点P(xo,yo,o,vo)为内点的区域VR内连续；(i)F(xo,Jo,uo,v)=0，G(xo,yo,uo,V)=0（初始条件);(ii)在V内F、G具有一阶连续偏导数；(m) =a(F-)在点 P,不等于零,a(u,v)则在点P的某一（四维空间）邻域U(P。）CV内，方程组（1）唯一地确定了定义在点Q（x，）的某一（二维空间）邻域U(Q）内的两个二元隐函数u= f(x,y), v=g(x,y),注：1)条件（4)在隐函数组定理中所起的作用，等价于定理18.1中的条件（iv）相当。2)本定理的证明这里从略，有兴趣的读者可参阅第二十三章里的一般隐函数组定理及其证明。3)在定理18.4中，若将条件(n)改为(F.±0，则方程（1）所确定a(y,v) [Po的隐函数组相应是y=y(u,x),v=v(u,x)；其他情形均可类似推得。总之，由

注．：1)上述结论中，  0. u v u v G G F F 只是 ux 、 x v 、uy 、 y v 可解的一个充分条件 而非必要的。事实上，若  0. u v u v G G F F 则 ux 、 x v 、uy 、 y v 可能有多组解或无 解。 注．：1)条件（4）在隐函数组定理中所起的作用，等价于定理 18.1 中的条件（ iv ） 相当。 2)本定理的证明这里从略，有兴趣的读者可参阅第二十三章里的一般隐 函数组定理及其证明。 3）在定理 18.4 中，若将条件 (iv) 改为 0, ( , ) ( , ) 0    y v P F G ，则方程（1）所确定 的隐函数组相应是 y  y(u, x),v  v(u, x) ；其他情形均可类似推得。总之，由 df：行列式 . u v u v G G F F 称为函数 F(x, y,u,v) 、G(x, y,u,v) 关于变量 u,v 的函数行列式 （或雅可比 (Jacobi) 行列式），亦可记作 . ( , ) ( , ) u v F G   定理 18.4 （隐函数组定理）若 (i) F(x, y,u,v) 与 G(x, y,u,v) 在以点 ( , , , ) 0 0 0 0 0 P x y u v 为内点的区域 4 V  R 内连续； (ii) F( , , , ) 0 0 0 0 x y u v  0，G( , , , ) 0 0 0 0 x y u v  0 （初始条件）； (iii) 在 V 内 F、G 具有一阶连续偏导数； (iv) ( , ) ( , ) u v F G J    在点 P0 不等于零， 则在点 P0 的某一（四维空间）邻域 U(P0 )  V 内，方程组（1）唯一地确定了定义在点 ( , ) 0 0 0 Q x y 的某一（二维空间）邻域 ( ) U Q0 内的两个二元隐函数 u  f (x, y) ，v  g(x, y)

方程组定义隐函数组及隐函数组求导时，应先明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，然后再进行有关的运算和讨论。[F(x,)=0 来讲，共有C =6种自变量的选取方法,4）对隐函数组[G(x,y,u,v) =0,同样对于含有m+n个变量的m个方程所确定的m个隐函数，其自变量的选_ (m+ n)(m+n-1)(m+1)种。取方法共有Cn+,=n!例1（P154）讨论方程组[F(x,y,u,v)=u? +y? -x? -y=0(6)[ G(x,y,u,v)=-u+v-xy +1= 0在点P。(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数解：首先，F(P)=G(po)=0,即P。满足初始条件。再求出F，G的所有一阶偏导数F,=-2x,F, =-1,F =2u,F,=2vG, =-y,G, =-x,G, =-1,G, =1容易验算，在点P。处的所有六个雅可比行列式中只有a(F,G)FF-44=C--11a(x,v) GG因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,为自变量的隐函数。除此之外，在P的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数。如果我们想求得x=x(u,v),y=y(u,v)的偏导数，只需对方程组（6）分别关于u,v求偏导数，得到[2u - 2xx. - yu = 0,(7)[-1-yx-=0[2v-2x, - y, = 0,(8)[ 1- xy, - yx, = 0.由（7）解出

方程组定义隐函数组及隐函数组求导时，应先明确哪些变量是自变量，哪些 变量是因变量，然后再进行有关的运算和讨论。 4）对隐函数组      ( , , , ) 0, ( , , , ) 0, G x y u v F x y u v 来讲，共有 6 2 C4  种自变量的选取方法， 同样对于含有 m  n 个变量的 m 个方程所确定的 m 个隐函数，其自变量的选 取方法共有 ! ( )( 1) ( 1) n m n m n m C n m n        种。 例 1（P154）讨论方程组               ( , , , ) 1 0 ( , , , ) 0, 2 2 2 G x y u v u v xy F x y u v u v x y （6） 在点 (2,1,1,2) P0 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。 解: 首先， ( ) ( ) 0, F P0  G p0  即 P0 满足初始条件。再求出 F，G 的所有一阶 偏导数 F 2x,F 1,F 2u,F 2v, x   y   u  v    ,   ,  1, 1. x y Gu Gv G y G x 容易验算，在点 P0 处的所有六个雅可比行列式中只有 0. 1 1 4 4 ( , ) ( , ) 0 0        P x v x v P G G F F x v F G 因此，只有．．x,v 难以肯定能否作为以 ．．．．．．．．．y,v 为自变量的隐函数 ．．．．．．．．。除此之外， 在 P0 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数。 如果我们想求得 x  x(u,v), y  y(u,v) 的偏导数，只需对方程组（6）分别 关于 u,v 求偏导数，得到           1 0, 2 2 0, u u u u yx xy u xx y （7）          1 0. 2 2 0, v v v v xy yx v xx y （8） 由（7）解出

2xu+12x+2yu.2x2-2x2 - y由（8）解出2x-12x-2yvX.2x2-y2x2 - y反函数组与坐标变换三、在S1例4中，我们通过隐函数定理讨论了一元函数反函数存在的（充分）条件.现在讨论由二元函数组所确定的反函数组及其存在的（充分）条件.(9)df:设函数组u=u(x,y),v=v(x,y)是定义在o-xy平面点集BCR2上的两个函数，对每一点P(x,J)eB，由方程组（9)有uwv平面上唯一的一点Q(u,v)ER?与之对应.我们称方程组（9）确定了B到R2的一个映射（变换），记作T，这时映射（9）可写成如下函数形式T:B→R2,P(x, y)μ-Q(u, v)或写成点函数形式Q=T(P),PB，并称Q(u,v)为映射T下P(x,J)的象，而P则是Q的原象.记B在映射T下的象集为B=T(B)df:若T为一一映射（即不仅每一原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的象）.这时每一点QeB，由方程组（9）都有惟一的一点PeB与之相对应.由此所产生的新映射称为映射T的逆映射（逆变换），记作T-1，即T-I : B' →B,OHPP= T-I(Q)Qe B'或

. 2 2 2 , 2 2 1 2 2 x y x yu y x y xu xu u        由（8）解出 . 2 2 2 , 2 2 1 2 2 x y x yv y x y xv xv u        ▊ 三、 反函数组与坐标变换 在§1 例 4 中，我们通过隐函数定理讨论了一元函数反函数存在的（充 分）条件.现在讨论由二元函数组所确定的反函数组及其存在的（充分）条件. df: 设函数组 u  u(x, y),v  v(x, y) （9） 是定义在 o- xy 平面点集 2 B  R 上的两个函数，对每一点 ，由方程组（9） 有 平面上唯一的一点 2 Q(u,v) R 与之对应．我们称方程组（9）确定了 B 到 2 R 的一 个映射（变换），记作 T ．这时映射（9）可写成如下函数形式 2 T : B  R ， P(x, y)  Q(u,v) 或写成点函数形式 Q  T(P),P B ，并称 Q(u,v) 为映射 T 下 P(x, y) 的象，而 P 则是 Q 的原象.记 B 在映射 T 下的象集为 ( ) ' B  T B . P(x, y) B uv df: 若 T 为一一映射（即不仅每一原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的 象）．这时每一点 ' Q  B ，由方程组（9）都有惟一的一点 P B 与之相对应.由此所产生 的新映射称为映射 T 的逆映射（逆变换），记作 1 T ，即 T B  B 1 ' : ， Q  P 或  , . 1 ' P  T Q Q B 

结论：由上述定义即存在定义在B上的一个函数组(10)x= x(u,v),y= y(u,v),(11)使得(9）而成为恒等式：u=u(x(u,v),y(u,v),v=v(x(u,v),(u,v),这时我们又称函数组（10）是函数组(9)的反函数组☆关于反函数组的存在性问题，其实是隐函数组存在性问题的一种特殊形式.这只需把方程组（9）改写成[f(x,y,u,v)=u-u(x,y)= O,(12)[G(x, y,u,v)=v-v(x,y) = 0,并将定理18.4应用于（12），便可得到函数组（9）在某个局部范围内存在反函数组（10）的下述定理.定理18.5（P155）（反函数组定理）设函数组(9)及其一阶偏导数在某区域DcR2上连续，点P（xo,yo）是D的内点，且a(u,v)±0uo = u(xo, yo),vo = v(xo, yo)Ba(x.y)则在点P(uo，v）的某一邻域U(P。）内存在惟一的一组反函数（10)，使得Xo=x(uo,vo),y。=y(uo,v)，且当(u,v)U(P)时，有(x(u, v),y(u, v) eU(P.)以及恒等式（11)此外，反函数组（10）在U(P。）内存在连续的一阶偏导数，且ax_v/a(u,v) axou /o(u,v)Quoy(x,y) ovoy/a(x,y)(13)ay=-av /a(u,v) ay_ Qu// a(u,v)ouax/a(x,y) ovax/ a(x,y)

结论．．：由上述定义即存在定义在 ．．．．．．．．．．． ' B 上的一个函数组 ．．．．．．． x  x(u,v), y  y(u,v), （．10．．）． 使得（ ．．．9．）而成为恒等式： ．．．．．．．．u  u(x(u,v), y(u,v),v  v(x(u,v), y(u,v)), （．11．．）． 这时我们又称函数组（ ．．．．．．．．．．10．．）是函数组 ．．．．．9 的．反函数组． ．．．．． ☆ 关于反函数组的存在性问题，其实是隐函数组存在性问题的一种 特殊形式.这只需把方程组（9）改写成          ( , , , ) ( , ) 0, ( , , , ) ( , ) 0, G x y u v v v x y f x y u v u u x y （12） 并将定理 18.4 应用于（12），便可得到函数组（9）在某个局部范围内存在反 函数组（10）的下述定理． 定理 18.5（P155）（反函数组定理）设函数组 9 及其一阶偏导数在某区域 2 D  R 上连 续，点 ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的内点，且 0, ( , ) ( , ) ( , ), ( , ), 0 0 0 0 0 0 0      P x y u v u u x y v v x y 则在点 ( , ) 0 0 ' 0 P u v 的某一邻域 ( ) ' U P0 内存在惟一的一组反函数（10），使得 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 x  x u v y  y u v ，且当 ( , ) ( ) ' U P0 u v  时，有   0 (x(u,v), y(u,v))U P 以及恒等式（11）．此外，反函数组（10）在 ( ) ' U P0 内存在连续的一阶偏导数，且 . ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) x y u v x u v y x y u v x v u y x y u v y u v x x y u v y v u x                               （13）

结论：由（13）看到：互为反函数组的（9）与（10），它们的雅可比行列式互为倒数，即0(u,2.a(,=1a(x,y) a(u,v)这与（一元）反函数求导公式（S1中（15）式）相类似事实上：av /a(u,v)_ou/ a(u, v)]o(u,v) a(x,y)a(u,v)ay/a(x,y)ay/a(x,y)ovou/a(u, v)a(u,v)a(x,y)a(u,v)a(x,y)ax/ a(x, y)ax/(x,y)OvouOuOvouOuOulOv_Qulaxayay axOy axa(u, ))" .ayayayay-1.=1avayavOuavOuOvOuOvOu(x,y)axyTaxaxaxaxax yOy ax1例2（P156）平面上点P的直角坐标(x,y)与极坐标(r,0)之间的坐标变换公式为x=rcos0,y=rsing.(14)由于a(x,y)_cos-rsine=rrcososinga(r,0)所以除原点外，在一切点上由函数组（14）所确定的反函数组是2,x>0,arctanx0=元+arctanx<0x☆(P156)对于函数组x=x(u,v,w),y=y(u,y,w),z=z(u,y,w)在相应于定理18.5的条件下所确定出的反函数组为u=u(x,y,-),v=(x,y,=),w=w(x,y,-),它们是三维空间中直角坐标与曲面坐标之间的坐标变换例3（P156）直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,p,の)之间的变换公式为

结论．．： 由（．．13．．）看到：互为反函数组的（ ．．．．．．．．．．．．9．）与（ ．．．10．．），它们的雅可比行列 ．．．．．．．．．． 式互为倒数，即 ．．．．．．． 1. ( , ) ( , ) ( , ) ( , )       u v x y x y u v 这与（一元）反函数求导公式（ ．．．．．．．．．．．．．．§．1．中（．．15．．）式）相类似 ．．．．．．．. 事实上：       ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u v x y x y u v ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y u v x u x y u v x v x y u v y u x y u v y v x y u v                      x u x v y u y v x y u v               1 ) ( , ) ( , ) (                       x u x v y u y v y v x v y u x u 1 ( )  1.                   x v y u y v x u x v y u x u y v ▋ 例 2（P156）平面上点 P 的直角坐标 (x, y) 与极坐标 (r,) 之间的坐标变换公 式为 x  r cos, y  rsin. （14） 由于 , sin cos cos sin ( , ) ( , ) r r r r x y           所以除原点外，在一切点上由函数组（14）所确定的反函数组是            arctan , 0. arctan , 0, , 2 2 x x y x x y r x y   ▊ ☆（P156） 对于函数组 x  x(u,v,w), y  y(u,v,w),z  z(u,v,w), 在相应于定理 18.5 的条件下所确定出的反函数组为 u  u(x, y,z),v  (x, y,z),w  w(x, y,z), 它们是三维空间中直角坐标与曲面坐标之间的坐标变换. 例 3（P156） 直角坐标 (x, y,z) 与球坐标 (r,,) 之间的变换公式为