沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义三）第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量非正常积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分

在本节中所讨论的曲线和曲面，由于它们的方程是以隐函数（组）的形式出现的，因此在求它们的切线（或切平面）时都要用到隐函数（组）的微分法。一、平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程(1)F(x,y)=0给出，我们有结论如下：结论：若平面曲线方程F(x,J)=0在点P(xo,yo)的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲线在点P。处存在切线和法线，其方程分别为(2)切线：F(xo,yo)(x-xo)+F,(xo,Jo)(y-yo)=0,(3)法线：F,(xo,yo)(x-xo)-F(xo,)(y-yo)=0.事实上：由条件可知，F(x,J)=0在P。附近所确定的连续可微隐函数y=f(x)（或x=g(y））和方程（1）在P附近表示同一曲线，从而该曲线在点讲P。处存在切线和法线，其方程分别为授新-=f"(x)(x-xo)(或x-x= g'(o)(y-))课与g(%)(-0))。(x-Xo）（或x-Xo=y-yo.f'(xo)由于F,)'(a)=-E(或g(y)=-FyFx所以曲线（1）在点P处的切线与法线方程为：(2)切线：F(xo,yo)(x-x)+F(xo,yo)(y-y)=0(3) 法线：F,(xo,yo)(x-xo)-F(xo,yo)(y-yo)=0.注：1)从上述推理中可以看出，如果平面曲线F(x,y)=0在P(xo,yo)存在切线和法线，则无论从隐函数y=f(x)或x=g(y)出发，得到的切线和法线方程都是一样的

讲 授 新 课 在本节中所讨论的曲线和曲面，由于它们的方程是以隐函数（组）的形 式出现的，因此在求它们的切线（或切平面）时都要用到隐函数（组）的微 分法。 一、平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程 F(x, y)  0 （1） 给出，我们有结论如下： 结论．．：若平面曲线方程 F(x, y)  0 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域内满足隐函数定理 条件，则该曲线在点 P0 处存在切线和法线，其方程分别为 切线： ( , )( ) ( , )( ) 0, Fx x0 y0 x  x0  Fy x0 y0 y  y0  （2） 法线： ( , )( ) ( , )( ) 0. Fy x0 y0 x  x0  Fx x0 y0 y  y0  （3） 事实上：由条件可知， F(x, y)  0 在 P0 附近所确定的连续可微隐函数 y  f (x) （或 x  g(y) ）和方程（1）在 P0 附近表示同一曲线，从而该曲线在点 P0 处存在切线和法线，其方程分别为 '( )( ) 0 0 0 y  y  f x x  x （或 '( )( ) 0 0 0 x  x  g y y  y ） 与 ( ) '( ) 1 0 0 0 x x f x y  y    （或 ( ) '( ) 1 0 0 0 y y g y x  x    ）。 由于 y x F F f '(x)   （或 x y F F g'( y)   ）， 所以曲线（1）在点 P0 处的切线与法线方程为： 切线： ( , )( ) ( , )( ) 0, Fx x0 y0 x  x0  Fy x0 y0 y  y0  （2） 法线： ( , )( ) ( , )( ) 0. Fy x0 y0 x  x0  Fx x0 y0 y  y0  （3）▊ 注．：1)从上述推理中可以看出，如果平面曲线 F(x, y)  0 在 ( , ) 0 0 0 P x y 存在切 线和法线，则无论从隐函数 y  f (x) 或 x  g(y) 出发，得到的切线和法线方 程都是一样的

例1(P159)求笛卡儿叶形线（参见P150$1例2）2(x3 +y)-9xy=0：在点(2,1)处的切线与法线。-解：设F(x,y)=2(x +y)-9xy,于是F=6x2-9y,F,=6y2-9x在0-xy平面连续，且F(2,1)=15+0,F(2,1)=-12±0.因此，由公式（2）与（3）分别求得曲线在点(2.1)的切线方程与法线方程分别为15(x-2)-12(y-1)=0即5x-4y-6=0-12(x-2)-15(y-1) =0即 4x +5y-13= 0二、空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程(4)L: x=x(t),=y(t),z =z(t),α≤t≤β表示的空间曲线L上某一点P（xo,Jo,z。）处的切线和法平面方程。结论1：设空间曲线！由参数方程L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),α≤t≤β给出，且满足1) 当t= t时, x = x(to),y =y(to),zo =z(to),α≤to ≤β,2）函数x=x(t),=(t),z=z(t),α≤t≤β在t处可导，且[r(t0 P +[(t0)P +[()P + 0.则曲线上点P处的切线方程为二=二兴二(5)x(o) y(to) 2(t)事实上：①在曲线L上点P附近选一点P(x, y,2) = P(xo + △x, yo +Ay,z0 +) 。②连接上的点P与P的割线方程为=AzArAy其中Ar = x(to + t)-x(to),Ay= y(to + t)-y(to), z= z(to + N)-z(to)

例 1(P159)求笛卡儿叶形线（参见 P150§1 例 2） 2( ) 9 0 3 3 x  y  xy  在点 (2,1) 处的切线与法线。 解: 设 ( , ) 2( ) 9 , 3 3 F x y  x  y  xy 于是 F x y F y x x 6 9 , y 6 9 2 2     在 0-xy 平面连续，且 (2,1) 15  0, (2,1)  12  0. Fx Fy 因此，由公式（2）与（3）分 别求得曲线在点 (2,1) 的切线方程与法线方程分别为 15(x  2) 12(y 1)  0 即 5x  4y  6  0, 12(x  2) 15(y 1)  0 即 4x  5y 13  0. ▊ 二、 空间曲线的切线与法平面 下面我们讨论由参数方程 L : x  x(t), y  y(t),z  z(t),  t   （4） 表示的空间曲线 L 上某一点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 处的切线和法平面方程。 结论．．1．：设空间曲线 ．．．．．L．由参数方程 ．．．．． L : x  x(t), y  y(t),z  z(t),  t   给出，且满足 ．．．．．． 1） 当． 0 t  t 时， x0  ( ), ( ), ( ), , x t 0 y0  y t 0 z0  z t 0   t 0   2） 函数．．x  x(t), y  y(t),z  z(t),  t   在．0 t 处可导，且 ．．．．．  '(   '( )  '( ) 0. 2 0 2 0 2 x t 0)  y t  z t  则曲线 ．．．L 上点．．P0 处的切线方程为 ．．．．．．． . '( ) '( ) '( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x      (5) 事实上： ① 在曲线 L 上 点 P0 附 近 选 一 点 ( , , ) ( , , ) 0 0 0 P x y z  P x  x y  y z  z 。 ②连接 L 上的点 P0 与 P 的割线方程为 , 0 0 0 z z z y y y x x x         其 中 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). 0 0 0 0 0 0 x  x t  t  x t y  y t  t  y t z  z t  t  z t

③以除上式各分母,得y-yoZ-0ArAAyAtN1AtArAyA2当△t→0时，P→P且>x(to),→y'(to),>z'(to)AtAtAt≥- 20X-xo-y-yo8即得曲线L在P处的切线方程为r'(to)y'(to)z'(to)且当x(to），J(t。),z(t。）不全为零时，即为该切线的方向数。df：过点P。可以作无穷多条直线与切线/垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这平面为曲线L在点P。处的法平面（图18-5中的平面n），表示为n结论2：由结论1中得到曲线L在的P。处的切线方程为X-=二.可知，通过点P具以L在x'(to)y'(to)z(to)图18-5Po的切线为其法线的法平面n的方程为(6)x(to)(x-xo)+ y'(to)(y-yo)+2(to)(=-z0)=0.事实上：由解析几何知识即可得出结论。★当空间曲线L由方程组[F(x, y,2) = 0,L:G(x, y,=)= 0(7)给出时,我们有[F(x, y,2)= 0, 结论3：若空间曲线L：它在点P(xoJo=。)的某邻域内满足隐函[G(x,Jy,2)=0数组定理的条件(这里不妨设条件(iv)是(F.+0),则方程组(7)在点P。附a(x,y) /e近能确定惟一连续可微的隐函数组(8)x=(p(2), y=y(2)

③以 t 除上式各分母,得 . 0 0 0 t z z z t y y y t x x x            ④当 t  0 时, P  P0 ,且 '( ), '( ), '( ), 0 0 0 z t t z y t t y x t t x          即得曲线 L 在 P0 处的切线方程为 . '( ) '( ) '( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x      且当 '( )0 x t , '( ) 0 y t , '( )0 z t 不全为零时,即为该切线的方向数。 ▋ 结论．．2．：由结论 ．．．1．中得到曲线 ．．．．．L 在的．．P0 处的切线 ．．．． 方程为 ．．． . '( ) '( ) '( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x      可知，通过点 ．．．．．．P0．,且以．．L 在． P0 的切线为其法线的法平面 ．．．．．．．．．．．n 的方程为 ．．．． '( )( ) '( )( ) '( )( ) 0. x t 0 x  x0  y t 0 y  y0  z t 0 z  z0  (6) 事实上：由解析几何知识即可得出结论。▋ ☆ 当空间曲线 L 由方程组      ( , , ) 0 ( , , ) 0, G x y z F x y z L： (7) 给出时,我们有 结论．．3．：若空间曲线 ．．．．．      ( , , ) 0 ( , , ) 0, G x y z F x y z L： 它在点 ．．． ( ) 0 0, 0. 0 P x y z 的某邻域内满足隐函 ．．．．．．．．． 数组定理的条件 ．．．．．．．．(这里不妨设条件 ．．．．．．．．(iv．．．)是． 0 ( , ) ( , ) 0    P x y F G ．),．则方程组 ．．．．．(7)．．在点．．P0 附． 近能确定惟一连续可微的隐函数组 ．．．．．．．．．．．．．．． x  (z)，．y (z)，． (8) df: 过点 P0 可以作无穷多条直线与切线 l 垂直,所有这些直线都在同一平面上,称这平面 为曲线 L 在点 P0 处的法平面（图 18-5 中的平面 n）,表示为 n

a(F,G)a(F,G)0(x, )使得=(=0)。=V(=0)，县会=a(z,y) dya(F,G)dza(F,G)da(x,y)a(x,y)a(F,G)事实上：由P153Th18.4及（5）式（注意到J=9）即可得出结论。a(x,y)[F(x, J,=) = 0,结论4：空间曲线L：点P。附近可表示成参量方程如下：(G(x,y,=)=0 x=(p(=),y=Φ(=),z=z:事实上：由于在点P。附近方程组(7)与函数组(8)表示同一空间曲线：因此取为参量时，即可得出结论。[F(x,y,-) = 0,结论5：空间曲线L：在P处的切线方程为(G(x,y,z)=0 x-Xo-y-yo-z-Z0dxdy/d,dzl即x-x,y-yo2-20(9)a(F,G)a(F,G)a(F,G)a(y,a) a(z,x)/a(x,y)/法平面方程为a(F,G),a(F,G)a(F,G)(= - z0)= 0.(10)y-yoa(y,2)a(z,x) a(x,y)a(F,G)a(F,G)事实上：由结论4及(5)、(6)式，并注意到些a(z,y) dya(x,2)日dza(F,G)dza(F,G)a(x,y)a(x,y)a(F,G)a(F,G)a(F,G)a(F,即可得出结论。a(y,z)a(z,y)0(z,x)a(x,z)

使得．． ( ) 0 0 x   z ，． ( ) 0 0 y  z ，且．． . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y F G x z F G dz dy x y F G z y F G dz dx             事实上：由 P153Th18.4 及（5）式（注意到 ( , ) ( , ) x y F G J    ）即可得出结论。▋ 结论．．4．：空间曲线 ．．．．      ( , , ) 0 ( , , ) 0, G x y z F x y z L： 点．P0 附近可表示成参量方程如下： ．．．．．．．．．．．．． x  (z)，．y  (z)，．z  z．. 事实上：由于在点 P0 附近方程组(7)与函数组(8)表示同一空间曲线， 因此取 z 为参量时，即可得出结论。▋ 结论．．5．：空间曲线 ．．．．      ( , , ) 0 ( , , ) 0, G x y z F x y z L： 在．P0 处的切线方程为 ．．．．．．． . 1 0 0 0 0 0 z z dz dy y y dz dx x x P P      即．       . ( , ) , ( , ) , ( , ) , 0 0 0 0 0 0 P P P x y F G z z z x F G y y y z F G x x            (9) 法平面方程为 ．．．．．．             0. , ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0             z z x y F G y y z x F G x x y z F G P P P (10) 事实上：由结论 4 及(5)、(6)式，并注意到 . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y F G x z F G dz dy x y F G z y F G dz dx             且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z y F G y z F G       ， ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x z F G z x F G       即可得出结论。▋

F或F在P处不等于结论6：由上述推理过程，同样可推出：当a(=,y)a(z,x)零时，曲线在P。处的切线与法平面方程仍分别取(9)与(10)的形式结论？：电此可见，当F，F(F不全为零时，它们是空a(y,2) /r* a(z,x) [ea(x,y)间曲线(7)在点P。处的切线的方向数。例2求球面x2+y?+z?=50与锥面x?+y2=2所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。解：设F(x, y,2)= x2 + y2 +22 - 50,G(x, y,2)=x? +y? +22.它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：%-6%-OFG=6 G-G=10,=8,=6.-10=8.dzax-ayaxayOza(F,G).(F) = 120 (F.) = 0.-160.9且a(y,z)a(z,x)a(x,y)所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程为：x-3_y-4_2-5-1601200[3(x - 3) + 4(y - 4) = 0,即z = 5.法平面方程为 4(x - 3) + 3(y- 4) + 0(= 5) = 0即4x-3y=0三、曲面的切平面与法线设曲面由方程(11)F(x,y,z)= 0给出，我们有结论如下：结论1：若由方程F(x,y,2)=0所确定的曲面在点P(xo,y,z)的某邻域内满

结论．．6．：由上述推理过程，同样可推出：当 ．．．．．．．．．．．．．．． z y F G , ( , )   或． z x F G , ( , )   在．P0 处不等于 ．．．． 零时，曲线在 ．．．．．．P0 处的切线与法平面方程仍分别取 ．．．．．．．．．．．．．．．(9)．．与．．(1．0)．．的形式 ．．．．. 结论．．7．：由此可见，当 ．．．．．．       0 0 0 , ( , ) , , ( , ) , , ( , ) P P P x y F G z x F G y z F G       不全为零时，它们是空 ．．．．．．．．．． 间曲线 ．．．．(7)．．在点．．P0 处的切线的方向数。 ．．．．．．．．． 例 2 求球面 50 2 2 2 x  y  z  与锥面 2 2 2 x  y  z 所截出的曲线在点 (3,4,5)处的切线与法平面方程。 解: 设 ( , , ) . ( , , ) 50, 2 2 2 2 2 2 G x y z x y z F x y z x y z        它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为： 6, 8,  10         z F y F x F ， 6, 8,  10         z G y G x G 且       0. , ( , ) 120, , ( , ) 160, , ( , )           x y F G z x F G y z F G 所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程为： , 0 5 120 4 160 3      x  y z 即         5. 3( 3) 4( 4) 0, z x y 法平面方程为  4(x 3)  3(y  4)  0(z 5)  0, 即 4x 3y  0. ▊ 三、曲面的切平面与法线 设曲面由方程 F(x, y,z)  0 (11) 给出，我们有结论如下： 结论．．1．：若由方程 F(x, y,z)  0 所确定的曲面在点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 的某邻域内满