沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义三）第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量非正常积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分

授课题目4学时818.1隐函数教学内容隐函数的概念、隐函数存在惟一性定理。1.深入理解隐函数的概念。教学目标2.理解隐函数存在惟一性定理，掌握判断隐函数存在惟一性的方法3.熟练运用隐函数求导公式，并利用隐函数的导数来研究隐函数的性态。教学重点隐函数存在惟一性定理。1.隐函数存在惟一性定理的证明。教学难点2.判断隐函数存在惟一性。教学方法“系统讲授”结合“问题教学”课程导入讲授新课思考练习小结与作业教学过程设计注释教学过程及授课内容在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如y=x+l,u=e"(sinxy+sinyz+sinzx)这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。☆本节将介绍由一个方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数求导法；课[F(x,y,z,u,v) = 0程☆下一节将介绍由方程组所确定的隐函数求导法。G(x,y,z,u,v) = 0导入

授课题目 §18.1 隐函数 4 学时 教学内容 隐函数的概念、隐函数存在惟一性定理。 教学目标 1.深入理解隐函数的概念。 2.理解隐函数存在惟一性定理，掌握判断隐函数存在惟一性的方法 3.熟练运用隐函数求导公式，并利用隐函数的导数来研究隐函数的性态。 教学重点 隐函数存在惟一性定理。 教学难点 1.隐函数存在惟一性定理的证明。 2.判断隐函数存在惟一性。 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 1 2 y  x  ，u e (sin xy sin yz sin zx). xyz    这种形式的函数称为显函数。 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。 ☆ 本节将介绍由一个方程 F(x, y,z)  0 所确定的隐函数求导法； ☆ 下一节将介绍由方程组      ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 所确定的隐函数求导法

隐函数概念设XcR，YcR，函数F:XxY→Rdf:对于方程F(x,y)=0(1)若存在集合ICX与JCY，使得对于任何xEI，恒有唯一确定的YEJ，使得（x,y）满足方程(1)，则称由方程(1)确定一个定义在I上，值域含于J的隐函数。注：1）定义中的y=f(x）xel,yeJ,仅表示定义域为I,值域为J的函数，而y未必能用x的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法．是用隐形关系式表示函数关系的一种。结论：若由F(x,J)=O确定的隐函数为y=f(x）xel,yeJ.则成立恒等式F(x,F(x)=0,x1讲授新例：方程xy+y-1=0，当×定义在(-00,-1)U(-1,+o0)上时，可得隐函数y=f(x)。其显函数形式为：=课1+x例：圆方程x?+y2=1能确定一个定义在[-1,+1]上，函数值不小于0的隐函数y=V1-x2；又能确定另一个定义在[-1,+1]上，函数值不大于的隐函数y=-vi-x?.注：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及x,y的取值范围后才有意义。2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程x?+y?+c=0当c>0时，就不能确定任何函数F(x)，使得x2+[f(x)P+c=0.而只有当c≤0时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程F(x,y)=0在什么条件下才能确定隐函数。4）倘若方程F(x,J)=0能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那

讲 授 新 课 一 、 隐函数概念 设 X  R ，Y  R ，函数 F : X Y  R. 注．：1）定义中的 y  f (x) x I, y  J, 仅表示定义域为 I,值域为 J 的函数， 而 y 未必能 用 x 的显式表示 2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的 一种。 结论．．：若由．．F(x, y)  0 确定的隐函数为 ．．．．．．．y  f (x) x I, y  J. 则成立恒等式 ．．．．．． F(x,F(x))  0, x I. 例： 方程 xy  y 1  0 ，当 x 定义在 (,1)(1,) 上时，可得隐函数 y  f (x) 。其显函数形式为： . 1 1 x y   例： 圆方程 1 2 2 x  y  能确定一个定义在 1,1 上，函数值不小于 0 的隐函 数 2 y  1 x ；又能确定另一个定义在 1,1 上，函数值不大于 0 的隐函数 2 y   1 x 。 注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及 x, y 的取值范围后才有意义。 2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。 3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程 0. 2 2 x  y  c  当 c  0 时，就不能确定任何函数 f x ，使得  ( ) 0. 2 2 x  f x  c  而只有当 c  0 时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程 F(x, y)  0 在什么条件下才能确定隐函数。 4）倘若方程 F(x, y)  0 能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那 df：对于方程 F(x, y)  0 (1) 若存在集合 I  X 与 J  Y ，使得对于任何 x  I ，恒有唯一确定的 y  J ，使得 （x,y）满足方程(1)，则称由方程(1)确定一个定义在 I 上，值域含于 J 的隐函数。 一般可记为

样，能从方程中解出y，并用自变量x的算式来表示（即使F(x,J)是初等函数）。例如，（证明见P149）例1）对于方程siny=0y-x-2可以证明确实存在一个定义在(-o0,+)上的函数f(x)，使得f(x)-x+siny=02但这函数f(x)却无法用x的算式来表达。5）由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程F(x,y)=0能否确定隐函数以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。二、隐函数存在性条件的分析[== F(x,), 即(x,y)分析1：满足方程F(x,J)=0的（x,y）应满足方程组Z=0应属于曲面z=F(x,J)与坐标平面z=0的交集。（z=0，：该交集在0-xy平面上）结论：若方程F(x,y)=0能确定一个函数，则至少要求曲面z=F(x,J)与坐标平面z=0的交集非空，即存在0-xy平面上的点P(xo,y）使F。(xo,y）=0。分析2：其次，对上述P。而言，若方程F(x,y)=0能在点P附近确定一个连续函数，则从几何意义上表现为上述交集是一条通过点P。的连续曲线段（该曲线段在0-xy平面上）（P145图18-1）。如果曲面z=F(x,y)在点P处存在切平面，2-Fx且切平面与坐标平面==0相交于直线1（同样1也在0-xy平面上），那么曲面z=F(x,J)在点图18-1P。附近亦必与坐标平面z=0相交（其交线在点

样，能从方程 中解出 y ，并用自变量 x 的算式来表示（即使 F(x, y) 是初等函数）。例如， （证明见 P149）例 1）对于方程 sin 0. 2 1 y  x  y  可以证明确实存在一个定义在 (,) 上的函数 f (x) ，使得 sin 0, 2 1 f (x)  x  y  但这函数 f (x) 却无法用 x 的算式来表达。 5) 由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程 F(x, y)  0 能否 确定隐函数 以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。 二 、隐函数存在性条件的分析 分析 1：满足方程 F(x, y)  0 的（x , y）应满足方程组      0 ( , ) z z F x y ，即（x , y） 应属于曲面 z  F(x, y) 与坐标平面 z  0 的交集。（∵ z  0，∴该交集 在 0-xy 平面上） 结论．．：若方程 ．．．F(x, y)  0 能确定一个函数，则至少要求曲面 ．．．．．．．．．．．．．．．z  F(x, y) 与坐标 ．．． 平面．．z  0 的交集非空，即存在 ．．．．．．．．．0-xy 平面上的点 ．．．．． ( , ) 0 0 0 P x y 使．F0 (x0 , y0 )  0。． 分析 2：其次，对上述 P0 而言，若方程 F(x, y)  0 能在点 P0 附近确定一个连 续函数，则从 几何意义上表现为上述交集是一条通过点 P0 的连续曲线段（该曲线段在 0-xy 平面上）（P145 图 18-1）。 如果曲面 z  F(x, y) 在点 P0 处存在切平 面， 且切平面与坐标平面 z  0 相交于直线 l （同 样 l 也在 0-xy 平面上），那么曲面 z  F(x, y) 在点 P0 附近亦必与坐标平面 z  0 相交（其交线在 点

P。处的切线正是1)。为此，我们有以下结论。结论：若z=F(x,y)在点P。可微，且(F(Po),F,(P))+(0,0)(2)则z=F(x,y)在点P存在切平面，并与z=0相交成直线。事实上：由P113Th17.4可知，若z=F(x,y)在点P。可微，则z=F(x,y)在点P存在切平面，又(F(P),F,(P)+(0,0),所以切平面不平行于0-xy平面，所以必与z=0(即 0-xy平面)相交成直线。分析3：如果进一步要求上述隐函数y=f(x）（或x=g(y)）在点P可微，则在F为可微的假设下，通过方程F(x,y)=0在点P处对x求导，依链式法则得到可得到以下结论。结论：若隐函数y=f(x)（或x=g(y)）在点P可微，且z=F(x,y)也可微则F(P)dyi(4)当F,(P)+0时，dx /F,(P.)F,(P)dx类似地，当F(P)+0时，=hF.(P)事实上：由F(x,J)=0，两端对x求导，依链式法则可得F(P)+F,(P).- = 0(3)所以，当F,(P）±0时，由上式可解出（4)F,(P.)dx同理，当F（P）0时，可得dyl=yF,(P)注：1)应关注条件(F(P),F,(P)(0,0),对隐函数的存在性及对隐函数的求导的重要性

P0 处的切线正是 l ）。为此，我们有以下结论。 结 论 ． ． ： 若． z  F(x, y) ．在 点． P0 ．可微，且 ． ． ． ( ( ), ( )) (0,0), Fx P0 Fy P0  （．2．）． 则．z  F(x, y) 在点．．P0 存在切平面，并与 ．．．．．．．．z  0 相交成直线。 ．．．．．． 事实上：由 P113 Th17.4 可知，若 z  F(x, y) 在点 P0 可微，则 z  F(x, y) 在点 P0 存在切 平面，又 ( ( ), ( )) (0,0), Fx P0 Fy P0  所以切平面不平行于 0-xy 平面，所以必与 z  0 (即 0-xy 平面)相交成直线。 ▋ 分析 3：如果进一步要求上述隐函数 y  f (x) （或 x  g(y) ）在点 P0 可微，则 在 F 为可微 的假设下，通过方程 F(x, y)  0 在点 P0 处对 x 求导，依链式法则得到可得到 以下结论。 结论．．：若隐函数 ．．．．y  f (x) （或．．x  g(y) ）在点 ．．．P0 可微，且 ．．．．z  F(x, y) 也可微， ．．．． 则． 当．Fy (P0 )  0 时，．．     . 0 0 0 F P F P dx dy y x xx   （．4．）． 类似地，当 ．．．．．Fx P0   0 时，．．     . 0 0 0 F P F P dy dx x y yy   事实上：由 F(x, y)  0 ，两端对 x 求导，依链式法则可得     0 0 0 0 x  y  xx  dx dy F P F P （3） 所以，当 Fy (P0 )  0 时，由上式可解出（4） 同理，当 Fx P0   0 时，可得     . 0 0 0 F P F P dy dx x y yy   ▋ 注．：1)应关注条件 ( ( ), ( )) (0,0), Fx P0 Fy P0  对隐函数的存在性及对隐函数的求 导的重要性

三、隐函数定理（P146)定理18.1（隐函数存在惟一性定理）若满足下列条件：(i）函数F在以P。（xo,y）为内点的某一区域DCR?上连续；(i）F(xo,yo）=0（通常称为初始条件）；(ii）在D内存在连续的偏导数F,(x,y)：(iv) F,(xo,yo)*0,则在点P的某邻域U(Po)CD内，方程F(x,y)=0惟一地确定了一个定义在某区间(x-α,x+α)内的函数（隐函数）y=f(x)，使得10 f(x)= yo,xe(xo -α,Xo +α)时(x, f(x)eU(P)且 F(x, f(x)=02°f()在(x-α,x+α)内连续证明：由条件(iv),不妨设F,(o,y)>0(若F(xo,y)<0,则可讨论一F(x,y)=0)一）.先证隐函数y=f(x)的存在性与惟一性①：F,在D内连续(由条件(ii)：由连续函数的局部保号性，存在点P的某一闭的方邻域[-β,xo+]×[v-β,y+]D,使得在其上每一点处都有F,(x,y)>0.因此,对每个固定的xe[x-β,x+β],F(x,J)作为y的一元函数,必定在[%-β,%+β]上严格增且连续.②由F(xo,y%)=0(初始条件(i)可知 F(xo,-β)<0 ，F(xo,+β)>0③又由F的连续性条件（i）可知道函数F(x,y-β)与F(x,y+β)在[-β,x+上也是连续的。因此由保号性存在α>0(α≤β)，当x(x -α,X +α)时恒有 F(x, -β)<0,F(x, +β)>0

三 、 隐函数定理（P146） 证明：由条件(iv),不妨设   0 0 F x , y x >0(若   0 0 F x , y x <0,则可讨论－ F(x, y) =0). 一）.先证隐函数 y  f (x) 的存在性 ．．．与惟一性 ．．．．. ①∵ Fy 在 D 内连续(由条件(iii)) ∴ 由 连 续 函 数 的 局 部 保 号 性 , 存在点 P0 的 某 一 闭 的 方 邻 域      0 0 x , x       0 0 y , y  D ,使得在其上每一点处都有 F (x, y) y >0. 因此,对每个固定的 x      0 0 x , x , Fx, y 作为 y 的一元函数,必定在      0 0 y , y 上严格增且连续. ②由 F(x0 , y0 )  0 （初始条件(ii)）可知 Fx0 , y0     0 ,     0 0 F x , y >0 ③又由 F 的连续性条件（i）可知道函数     0 F x, y 与     0 F x, y 在      0 0 x , x 上也是连续的。因此由保号性存在   0   ， 当    0 0 x x , x 时恒有  ,  0,  ,  0. F x y0    F x y0    定理 18.1（隐函数存在惟一性定理） 若满足下列条件： （i）函数 F 在以 P0 ( , ) 0 0 x y 为内点的某一区域 2 D  R 上连续； （ii） F(x0 , y0 )  0 （通常称为初始条件）； （iii）在 D 内存在连续的偏导数 F x y y , ； （iv）   0 0 F x , y y  0， 则在点 P0 的某邻域 U(P0 )  D 内，方程 Fx, y =0 惟一地确定了一个定义 在某区间 ( , ) x0  x0  内的函数（隐函数） y  f (x) ，使得 1º   0 0 f x  y , ( , ) x x0  x0  时 ( , ( )) ( ) U P0 x f x  且 Fx, f (x)  0 ； 2° f x 在 ( , ) x0  x0  内连续