沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第4章 矩阵的特征值与特征向量

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量第16讲授课题目84.1向量的内积与正交向量组1.了解向量内积与长度的概念2.理解正交向量组的概念教学目的3.掌握施密特正交化法，会求正交矩阵教学重点密特正交化法与正交矩阵的求法教学难点密特正交化法与正交矩阵的求法2 学时教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合教学时数备注教学过程一、向量的内积与长度定义1设有n维向量bb,Rb.1称数ab+a,b,++a,b,为向量α与β的内积，记作[α,β].即[α,β]=ab +a,b, +...+a,b, =α'β=βα内积具有下列性质：（其中α，β,为n维向量，入为任意实数）(1)对称性[α,β]=[β,α]（2）非负性当α±0时，α,α>0.事实上，[α,α=0的充分必要条件是α=0;(3)线性性[α+β,]=[α,"]+[β,"];[α, β]=[α, β]定义2对于任意一个n维向量α=(a,a2,a），称[α,α]为向量α的长度，记作α，即al-[a,α]=a +a+.+a向量的长度具有如下性质：（其中α,β为n维向量，入为任意实数）-70-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 70 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 授课题目 §4.1 向量的内积与正交向量组 第 16 讲 教学目的 1.了解向量内积与长度的概念 2.理解正交向量组的概念 3.掌握施密特正交化法，会求正交矩阵 教学重点 密特正交化法与正交矩阵的求法 教学难点 密特正交化法与正交矩阵的求法 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 一、向量的内积与长度 定义 1 设有 n 维向量 1 2 n a a a          ， 1 2 n b b b          称数 1 1 2 2 n n a b  a b  a b 为向量 与  的内积，记作, .即   T T 1 1 2 2 , n n    a b  a b  a b      内积具有下列性质： （其中, , 为 n 维向量，  为任意实数） （1）对称性 ,    , ； （2）非负性 当  0 时，,   0 .事实上，,   0 的充分必要条件是   0 ； （3）线性性    ,   ,   ,  ； ,    ,  定义 2 对于任意一个 n 维向量   T 1 2 , , , n   a a  a ，称 ,  为向量 的长 度，记作  ，即   2 2 2 1 2 , n      a  a  a 向量的长度具有如下性质： （其中, 为 n 维向量，  为任意实数）

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量（1）非负性α≥0，当且仅当α=0时α=0（2）齐次性α=：（3）三角不等式α+β≤α+β长度为1的向量称为单位向量%为单位向量。由向量α得到单位向量e。的过程称显然，当α0时，e。=a为将非零向量α单位化容易证明，对于任意两个向量α,β，总有[α,β≤[α,α[β,β] (或[α,β≤αβ上式称为Cauchy-Schwarz不等式，由此可得[α, β]4a于是[α,β]对于两个非零向量α,β，称θ=arccos为向量α,β的夹角/al/ ll(0≤0≤元)例1 向量α=(1 2 2 -1),求[α与e。解α=/12+22+22 +(-1)2=/10尚( 2 2 -例2设向量α=(100)，β=(1 01 0)，求α与β的夹角解由于[α,β]=1,[α=2，β=V,故两向量的夹角为[α,β]1元Q=arccos=arccos1al/ 23二、正交向量组-71计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 71 - （1）非负性  ≥0，当且仅当  0 时   0 ； （2）齐次性     ； （3）三角不等式    ≤    长度为 1 的向量称为单位向量. 显然，当  0 时，    eα 为单位向量。由向量 得到单位向量eα的过程称 为将非零向量 单位化. 容易证明，对于任意两个向量, ，总有   2 , ≤,  ,  （或 ,  ≤   ） 上式称为 Cauchy–Schwarz 不等式，由此可得 ,    ≤1 于是 对 于 两 个 非 零 向 量 , ， 称  ,    arccos     为 向 量 , 的 夹 角 (0     ) . 例 1 向量   T   1 2 2 1 ，求  与eα. 解 2 2 2 2   1  2  2  (1)  10   1 T 1 2 2 1 10      eα 例 2 设向量   T   1 1 0 0 ，   T   1 0 1 0 ，求 与  的夹角. 解 由于,  1，   2 ，   2 ， 故两向量的夹角为  ,  1 arccos arccos 2 3          二、正交向量组

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量定义3对于n维向量α,β，如果[α,]=0，即ab+a,b,++a,b,=0，称α与β正交，记作αβ由定义知，零向量与任何向量都正交定义4如果一组非零向量两两正交，则称该向量组为正交向量组定义5如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单位正交组，也称标准正交组或规范正交组例如，ef =0,e,0)0为一标准正交组定理1若α,αz,,α,构成一组非零正交向量组，则α,αzα,线性无关.证明设有，，…,，使得a+a,+...+a,=0成立用αT左乘上式两端，得Mafa, +Maa, +.+n,a,a,= 0由于αα2"α,两两正交，故有[α,α,]=αfα, =0, j+1于是有Ma,==0由α,0得α>0，所以必然有=0同理可得==入,=0，故向量组α,α2，α,线性无关.证毕注意，正交向量组只是向量组线性无关的充分条件，其逆定理不成立，即线性无关的向量组不一定是正交向量组.但对于任一线性无关的向量组αi,α2，,α,，总可- 72 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 72 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 定义 3 对于 n 维向量, ，如果,   0 ，即 1 1 2 2 0 n n a b  a b  a b  ， 称 与  正交，记作   . 由定义知，零向量与任何向量都正交. 定义 4 如果一组非零向量两两正交，则称该向量组为正交向量组. 定义 5 如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正 交向量组，简称单位正交组，也称标准正交组或规范正交组. 例如， 1 2 3 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1                                  e e e 为一标准正交组. 定理 1 若 1 2 , , ,     r 构成一组非零正交向量组，则 1 2 , , ,     r 线性无关. 证明 设有 1 2 , , ,    r ，使得 11  22  r r  0 成立.用 T 1 左乘上式两端，得 T T T 1 1 1 2 1 2 1 0         r  r  由于 1 2 , , ,     r 两两正交，故有 T 1 1 , 0 j j           ， j  1 于是有 T 1 1 1 1 1       0 由1  0 得 1   0 ，所以必然有 1   0 . 同理可得 2 0   r  ，故向量组 1 2 , , ,     r 线性无关.证毕. 注意，正交向量组只是向量组线性无关的充分条件，其逆定理不成立，即线性无 关的向量组不一定是正交向量组.但对于任一线性无关的向量组 1 2 , , ,     r ，总可

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量以找到一个与之等价的正交向量组β,β,，,β..这里不加证明地介绍一种实现这一过程的方法：施密特（Schmidt）正交化方法.具体步骤如下：设向量αα.α,线性无关，取 β, =αB =α. -(aP)p(β,β)(α,β) β(a.,β) β,β,=α,(βr,β.)(β2,β,)(α,β) r(a.B) β(αr,β)β, =α,(β2,β,)(β,β)(βr-,βr-)则β,β2，,β,为一个正交向量组，且(β,β,"",β,]=(α,α2"",α,)如果再把正交向量组β,β,，,β,的每个向量单位化，即令β,i=1,2,.,rY, =P.则可得到与α,α,α等价的标准正交组2，,简言之，将任一线性无关向量组化为标准正交组的步骤如下：（1）根据施密特正交化方法将其正交化：（2）将（1）所得的每个向量单位化这个过程称为单位正交化过程，上述步骤次序不可交换例3已知向量组α =(1 0 -1 1)′,α, =(1 -1 0 1),α;=(-1 1 1 0)线性无关，试将其化为标准正交组解第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化取β=α=(1 0 -1 1)-73 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 73 - 以找到一个与之等价的正交向量组 1 2 , , ,     r .这里不加证明地介绍一种实现这一 过程的方法：施密特（Schmidt）正交化方法.具体步骤如下： 设向量 1 2 , , ,     r 线性无关， 取 1 1 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , )          3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )                 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) r r r r r r r r r                         则 1 2 , , ,     r 为一个正交向量组，且 1 , 2 ,, r  1 ,2 ,, r  如果再把正交向量组 1 2 , , ,     r 的每个向量单位化，即令 , 1,2, , i i i  i   r    则可得到与 1 2 , , ,     r 等价的标准正交组 1 2 , , ,  r    . 简言之，将任一线性无关向量组化为标准正交组的步骤如下： （1）根据施密特正交化方法将其正交化； （2）将（1）所得的每个向量单位化. 这个过程称为单位正交化过程，上述步骤次序不可交换. 例 3 已知向量组       T T T 1 2 3   1 0 1 1 ,  1 1 0 1 ,  1 1 1 0 线性无关，试将其化为标准正交组. 解 第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化 取   T 1 1    1 0 1 1

线性代数教案第4章矩阵的特征值与特征向量(α,β)Rβ, =α, -21(βi,β)(αs,β)(αs,β) 1334)β,=α,-(β1,β) P(β2,β)"3所得的β,β,β,即是与α,αz,α,等价的正交向量组第二步，再单位化V15BJ=35由于=所以令P335B=10-1 1)CY1=IIPIV3β=一(11-321)2 =V45B,IB=1(-1 3 3 4)Y3 =IBJ~V35则1.Y2,3为所求标准正交组三、正交矩阵定义6如果n阶矩阵A满足AA-E（或AA-E)则称A为正交矩阵例如，对于矩阵V20)22100A=临。归22容易验证A'A=E，所以矩阵A是一个三阶正交矩阵显然，单位矩阵也是正交矩阵定理2矩阵A为n阶正交矩阵的充要条件是A的列向量组为一个单位正交向量组- 74 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 - 74 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉）   T 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) 1 1 3 2 1 ( , ) 3              T 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 3 3 4 ( , ) ( , ) 5                  所得的 1 2 3  , , 即是与 1 2 3  , , 等价的正交向量组. 第二步，再单位化 由于 1 2 3 15 35 3, , 3 5       ，所以令   T 1 1 1 1 1 0 1 1 3         T 2 2 2 1 1 3 2 1 45         T 3 3 3 1 1 3 3 4 35       则 1 2 3  , , 为所求标准正交组. 三、正交矩阵 定义 6 如果 n 阶矩阵 A 满足 T A A  E （或 T AA  E ） 则称 A 为正交矩阵. 例如，对于矩阵 2 2 0 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2         A 容易验证 T A A  E ，所以矩阵 A 是一个三阶正交矩阵. 显然，单位矩阵也是正交矩阵. 定理 2 矩阵 A 为 n 阶正交矩阵的充要条件是 A 的列向量组为一个单位正交向 量组