沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第2章 矩阵

线性代数教案第2章矩阵授课题目82.1矩阵1.熟练掌握矩阵的定义2.掌握一些特殊矩阵教学目的教学重点矩阵的定义教学难点矩阵在实际问题中的应用教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合教学时数2学时备注教学过程引入：背景及其应用月（介绍凯莱和西尔维斯特举应用实例）矩阵的定义在许多实际问题中，常需要把一些数据按一定的顺序排成一个矩形表。例1某企业2006年生产某产品，支付的成本（万元），销售的收入（万元），获得的利润（万元），按4个季度可以排成如下：金额日期第一季度第三季度第四第二季度名称75120140成本100收入209300265400利润134180165260表 2. 1则该企业2006年生产某产品，支付的成本（万元），销售的收入（万元），获得的利润（万元），按4个季度用矩形表755120100140)A=209300265400134180165260表示.这样由一些元素按一定顺序组成的矩形表就是矩阵定义1由mxn个数a(i=1,2,m,j=1,2,",n)排成的m行n列的表anaina12a21a22..a2n…:(amlam2..am称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵.其中的每一个数称为矩阵的元素.a，称为矩阵的第i行第i列元素.矩阵可用大写字母A，B，来表示，有时为了指明行数或列-1-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 1 - 授课题目 §2.1 矩阵 教学目的 1.熟练掌握矩阵的定义 2.掌握一些特殊矩阵 教学重点 矩阵的定义 教学难点 矩阵在实际问题中的应用 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 引入： 背景及其应用 （介绍凯莱和西尔维斯特 举应用实例） 一、 矩阵的定义 在许多实际问题中，常需要把一些数据按一定的顺序排成一个矩形表. 例 1 某企业 2006 年生产某产品，支付的成本（万元），销售的收入（万元）， 获得的利润（万元），按 4 个季度可以排成如下： 金 额 日期 名称 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 成本 75 120 100 140 收入 209 300 265 400 利润 134 180 165 260 表 2.1 则该企业 2006 年生产某产品，支付的成本（万元），销售的收入（万元），获得的 利润（万元），按 4 个季度用矩形表 A        134 180 165 260 209 300 265 400 75 120 100 140 表示.这样由一些元素按一定顺序组成的矩形表就是矩阵. 定义 1 由 m  n 个数 a (i 1,2, m; j 1,2, , n) ij     排成的 m 行 n 列的表       m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m  n 矩阵.其中的每一个数称为矩阵的元素. ij a 称为矩阵 的第i 行第 j 列元素.矩阵可用大写字母 A ， B ，.来表示，有时为了指明行数或列

线性代数教案第2章矩阵数可写成简记为Am或A=（a）m特别地（1）当m=n时，称A为n阶方阵或n阶矩阵，简记为A，(aa2... auna21a22...a2nA, =1：：(anian2....am)（2）当m=1时，矩阵只有一行，称A为行矩阵A=(aj,a2,.,a,)行矩阵又叫行向量（3）当n=1时，矩阵只有一列，称A为列矩阵(α)a2A=:(am列矩阵又叫列向量元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素都是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明外都是实数矩阵定义2如果两个矩阵的行数和列数都相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。如果两个矩阵A=(a,）m与B=(b,）m是同型矩阵，且他们的一切对应元素都相等，则称这两个矩阵相等，记作A=B.二、常用的特殊矩阵（1）零矩阵：元素都是零的矩阵(00..0)00.00=:(00..0称为零矩阵（2）对角阵：对角线元素为1，元2，,元，，其余元素为0的方阵-2-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 - 2 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 数可写成简记为 Amn 或 ( ) ij m n a A   .特别地 （1）当 m  n时，称 A 为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，简记为 An . An        n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 （2）当 m  1时，矩阵只有一行，称 A 为行矩阵 A  a1 ,a2 ,,an  行矩阵又叫行向量. （3）当 n  1时，矩阵只有一列，称 A 为列矩阵 1 2ma a a         A 列矩阵又叫列向量. 元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素都是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩 阵除特别说明外都是实数矩阵. 定义 2 如果两个矩阵的行数和列数都相等，则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果两个矩阵 ( ) ij m n a A   与 ( ) i j mxn B  b 是同型矩阵，且他们的一切对应元素 都相等，则称这两个矩阵相等，记作 A = B . 二、常用的特殊矩阵 （1）零矩阵：元素都是零的矩阵 O        0 0 0 0 0 0 0 0 0       称为零矩阵. （2）对角阵 ：对角线元素为  n , , , 1 2  ，其余元素为0 的方阵

线性代数教案第2章矩阵(元)0元2A=..0元称为对角阵，也可记为diag(a,,,a,）.（3）单位阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵(10)1E, =..01称为单位阵（4）上三角阵：对角线下方元素全为0的方阵(aa2ana2na22A=":0amn称为上三角阵.若记A=（a,），其元素α,当（i>j）时为零（5）下三角阵：对角线下方元素全为0的方阵(ai0a21a22A=：(aman2am称为下三角阵.若记A=（α,），其元素a,当（i<j）时为零课后小结：理解矩阵的概念，掌握常见的几种矩阵授课题目S2.2矩阵的运算1.熟练掌握两矩阵相等的概念2.熟练掌握矩阵的运算及其运算规则教学目的教学重点矩阵的运算及其运算规则教学难点矩阵乘法的不可交换性、不可消去性教学方法探究-讨论教学手段教学时数2 学时板书与多媒体相结合-3-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 3 - 1 2 0 0 n             称为对角阵，也可记为 1 2 ( , , , ) n diag     . （3）单位阵 ：对角线元素为１，其余元素为 0 的方阵 1 0 1 0 1 n         E 称为单位阵. （4）上三角阵：对角线下方元素全为 0 的方阵 11 12 1 22 2 0 n n nn a a a a a a           A 称为上三角阵.若记 ( ) ij A  a ，其元素 ij a 当（i  j ）时为零. （5）下三角阵：对角线下方元素全为 0 的方阵 11 21 22 1 2 0 n n nn a a a a a a          A 称为下三角阵.若记 ( ) ij A  a ，其元素 ij a 当（i  j ）时为零. 课后小结： 理解矩阵的概念,掌握常见的几种矩阵. 授课题目 §2.2 矩阵的运算 教学目的 1.熟练掌握两矩阵相等的概念 2.熟练掌握矩阵的运算及其运算规则 教学重点 矩阵的运算及其运算规则 教学难点 矩阵乘法的不可交换性、不可消去性 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时

线性代数教案第2章矩阵备注教学过程引入：矩阵的定义同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵，矩阵相等：设A=（ag）mxn，B=(b,）mxn，若a,=b, (i=1,2,m; j=1,,n),称A=B.1.线性运算：A=(ag）mxn，B=(b,）mxn[au+bu...an+bin：加法：A+B=(a,+b,）mxn=Lam+bml ... amm+bm.[kau...kan：数乘：kA=(ka,)mx = [kam...kamm负矩阵：-A=(-1)A=(-ag）mxn[au-b... an-bn：:减法：A-B=(a,-b,)mxn=Lam-bml ... amm-bmm算律：设A,B,C为同阶矩阵，k,1为常数，则有(I) A+B=B+A(5) 1A = A(2) (A+B)+C = A+(B+C)(6)(kl)A= k(IA)(3) A+O= A(7) (k+I)A=kA+lA(4) A+(-A)=0(8) k(A+B)=kA+kB[1 -2 0]1[826], B=例1设A=[435][53 4]满足2A+X=B-2X，求X.「2221(B-2 A) =解X:-1 -1 -132.矩阵乘法：一般情形A=(ag）mxs,B=(b）-4-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 - 4 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 教 学 过 程 备注 引入： 矩阵的定义 同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设 ij m n A a   ( ) , ij m n B b   ( ) , 若 ij ij a  b (i  1,2,,m; j  1,2,, n) , 称 A  B . 1. 线性运算： ij m n A a   ( ) , ij m n B b   ( ) 加法：                m m mn mn n n ij ij m n a b a b a b a b A B a b     1 1 11 11 1 1 ( ) 数乘：          m mn n ij m n k a k a k a k a kA k a     1 11 1 ( ) 负矩阵： ij m n A A a       ( 1) ( ) 减法：                m m mn mn n n ij ij m n a b a b a b a b A B a b     1 1 11 11 1 1 ( ) 算律：设 A, B, C 为同阶矩阵, k, l 为常数, 则有 (1) A  B  B  A (5) 1A  A (2) (A  B)  C  A  (B  C) (6)(kl)A  k(l A) (3) A  O  A (7) (k  l)A  k A  l A (4) A  (A)  O (8) k(A  B)  k A  kB 例 1 设         4 3 5 1 2 0 A ,        5 3 4 8 2 6 B 满足 2A  X  B  2X , 求 X ． 解            1 1 1 2 2 2 ( 2 ) 3 1 X B A 2. 矩阵乘法： 一般情形 ij m s A a   ( ) , ij s n B b   ( )

线性代数教案第2章矩阵[bybajc, =[an ai2=a,b,+azb2,+.+ab..aisJbaau..aisCn..CinAB=a...Cml...Cm[3.-]][3-22-3[1↓0 :11 -1]AB=03,B=630例2A=0...30↓21111[101１-10[注]BA无意义[3]. -[1 -1]-111. B4 =[8 9]AB=U例3A=L00-11[12]”[注]AB+BA；A±O，B+O，但是BA=O.算律：(1) (Amx-Bxxn)Cmx/ = A(BC)(2) Ams(Bsn +Cxn)= AB+ AC(Amxs + Bms)Cs = AC + BC(3) k(Amx,Bsxn)=(kA)B= A(kB)(4) EmAmxn = A, AmxnE,=A[a[x][br].ainyia12b2X2a21a22a2ny2应用：A=, b=,X=s::目:.[X]bmLamiam2..ammLYm线性方程组的矩阵形式 Ax=b线性变换的矩阵形式y=Ax3.方阵的幂：A' = A, Ak+I = A*A (k =1,2,..)Ann，k,1为正整数算律：（I）A*A'=A*+I(2) (A*)' = AkI[1 01]20,求A*(k=2,3,).例4A=1-5-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 5 -   ij i i is c a a  a  1 2     sj j j b b b  2 1 i j i j is sj  a b  a b  a b 1 1 2 2        m ms s a a a a AB     1 11 1        s sn n b b b b     1 11 1        m mn n c c c c     1 11 1 例 2         1 0 0 3 3 1 A ,         0 2 1 0 1 0 1 1 B ,           1 0 1 1 0 6 3 0 3 2 2 3 AB [注] BA 无意义． 例 3        1 2 1 2 A ,         1 1 1 1 B         1 1 1 1 AB ,        0 0 0 0 BA [注] AB  BA； A  O , B  O , 但是 BA  O ． 算律： (1) (A B )C A(BC) ms sn nl  (2) Ams (Bsn  Csn )  AB  AC (Ams  Bms )Csn  AC  BC (3) k(A B ) (kA)B A(kB) ms sn   (4) Em Amn  A, AmnEn  A 应用：        m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,        n x x x x  2 1 ,        mb b b b  2 1 ,        my y y y  2 1 线性方程组的矩阵形式 Ax  b 线性变换的矩阵形式 y  Ax 3. 方阵的幂： Ann , k , l 为正整数 A  A 1 , ( 1,2, ) A k 1  A k A k   算律：(1) k l k l A A A   (2) k l k l (A )  A 例 4        1 2 0 1 0 1 A , 求 A (k  2,3,) k ．