第一章 多项式F=r+r=nfrn)Mg1.31最大公因式-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影
1.3 最大公因式 第一章 多项式 主讲人：黄影
1.3最大公因式一、最大公因式的定义与性质f(x)、g(x)E P[x], 若p(x)E P[x]定义满足:p(x)[f(x) 且 (x)g(x),则称p(x)为f(x) g(x)的公因式f(x)、 g(x) E P[xl,若 d(x)E P[x] 满足:定义i) d(x)|f(x), d(x)|g(x);i) 若p(x)E P[x), (x)f(x)且 (x)g(x),则p(x)d(x).则称 d(x)为 f(x)、g(x)的最大公因式
i) d x f x d x g x ( ) ( ), ( ) ( ) ; 定义 f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 满足: ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ), x g x f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 d x P x ( ) [ ] 满足： ii) 若 ( ) [ ] x P x ， ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ) x g x ，则 ( ) ( ) . x d x 则称 d x( ) 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式． 则称 ( ) x 为 f x g x ( ) ( ) 、 的公因式． 1.3 最大公因式 定义 一、最大公因式的定义与性质 ( ) [ ] x P x
1.3最大公因式注：①f(x)g(x)的首项系数为1的最大公因式记作：(f(x)，g(αx)):② Vf(x)e P[x] ，f(x)是 f(x)与零多项式o的最大公因式两个零多项式的最大公因式为03④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的(若d,(x)、d,(x)为f(x)g(x)的最大公因式，则 d,(x)=cd,(x),c为非零常数
注：① f x g x ( ) ( ) 、 的首项系数为1的最大公因式记作: ② f x P x ( ) [ ] ， f x ( ) 是 f x( ) 与零多项式0的最大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 ( 若 d x d x 1 2 ( ) ( ) 、 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式，则 d x d x 1 2 ( ) c ( ) = ,𝒄为非零常数．) 1.3 最大公因式 公因式是唯一的. (𝒇(𝒙)，𝒈(𝒙))
1.3最大公因式f(x),g(x)e P[l, 若 (f(x),g(x))=1,定义则称f(x),g(x）为互素的(或互质的)说明：f(x),g(x)互素←(f(x),g(x))=1←f(x),g(x)除去零次多项式外无其它公因式
f x g x P x ( ), ( ) [ ], 则称 f x g x ( ), ( ) 为互素的(或互质的)． 定义 若 ( ( ), ( )) 1 , f x g x = f x g x ( ) ( ) , 互素 = ( ( ), ( )) 1 f x g x f x g x ( ), ( ) 除去零次多项式外无 说明: 其它公因式． 1.3 最大公因式
1.3最大公因式二、最大公因式的存在性与求法引理 若等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，则f(x)、 g(x)与 g(x)、r(x) 有相同的公因式,从而(f(x), g(x) = (g(x), r(x)
若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + f x g x ( ) ( ) 、 g x r x ( ) ( ) 、 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f x g x g x r x , , = 引理 二、最大公因式的存在性与求法 1.3 最大公因式