授课题目$16.1平面点集与多元函数4学时平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，R2的完备性教学内容二元及多元函数的定义。1.掌握平面点集及点与平面点与平面点集的的位置关系。教学目标2.理解R2的完备性。3.二元及多元函数的定义。教学重点平面点集的基本概念和二元函数的定义教学难点二维空间R的完备性定理。教学方法“系统讲授”结合“问题教学”思考练习小结与作业课程导入讲授新课6'25'10°4'教学过程本学期所学的内容，在是在上学期一元函数基础上进行研究和学习。本节主要设计是让学生正确的理解平面点集、R完备性和和二元函数的概念，主要通过通过坠一元函数内容的复习，启发学生思考和理解二元函数的相应内容。注释教学过程及授课内容在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一元函数，但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数：例如，矩形的面积S=xy，描述了面积S和长x、宽y这两个量之间的函数关系又如，长方体体积V=xyz，描述了体积V和长x、宽y、高=这三个变量之间的函数关系，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着确定的函数关课系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,2)表示时，温度T由x,y,z这三个变量程导所确定。如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那么温度T还与时间1有关，入即T的值由x,y,z,t这四个变量所确定。这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去，1
1 授课题目 §16.1 平面点集与多元函数 4 学时 教学内容 平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义， 2 R 的完备性， 二元及多元函数的定义。 教学目标 1.掌握平面点集及点与平面点与平面点集的的位置关系。 2.理解 2 R 的完备性。 3. 二元及多元函数的定义。 教学重点 平面点集的基本概念和二元函数的定义。 教学难点 二维空间 2 R 的完备性定理。 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 6’ 25’ 10’ 4’ 本学期所学的内容，在是在上学期一元函数基础上进行研究和学习。本节主要 是让学生正确的理解平面点集、 完备性和和二元函数的概念，主要通过通过坠一 元函数内容的复习，启发学生思考和理解二元函数的相应内容。 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一 元函数．但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数．例如，矩形的 面积 S xy ，描述了面积 S 和长 x 、宽 y 这两个量之间的函数关系．又如，长 方体体积 V xyz ，描述了体积 V 和长 x 、宽 y 、高 z 这三个变量之间的函数 关系，烧热的铁块中每一点的温度 T 与该点的位置之间有着确定的函数关 系，即当铁块中点的位置用坐标 x y z , , 表示时，温度 T 由 x y z , , 这三个变量 所确定。如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那么温度 T 还与时间 t 有关， 即 T 的值由 x y z t , , , 这四个变量所确定。这种两个、三个或四个自变量的函数， 分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数． 多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也 由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其 要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数 的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去． 2 R
一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集。因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念.一、平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对（x，y）与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面，坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集，并记作E=(x,y)1(x,y)满足条件P) 例如全平面上的点所组成的点集是(1)R? = (x,y)I -00<x<+00,-00<y<+00)平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有的点的集合是C= (x, )1 x2 +y2 <r2)(2)讲授而集合新S= (x,y)la≤x≤b,c≤y≤d)(3)课则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作[a,b]x[c,d] .平面点集(x,j)I(x-x+(y-y)<8) 与(x,)x-xol<8,-y<8)分别称为以点A(xo,%)为中心的圆领域与8方领域（图16-1).图16-12
2 一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面 上的点集。因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些 基本概念． 讲 授 新 课 一、平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系(今后如不特别指 出，都假定是直角坐标系)之后，所有有序实数对① (x,y)与平面上所有的点 之间建立了一一对应．因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说 法看作是完全等同的．这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面． 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合，称为平面点集，并记作 E x, y|x, y满足条件P ． 例如全平面上的点所组成的点集是 , | , . 2 R x y x y (1) 平面上以原点为中心，r 为半径的圆内所有的点的集合是 2 2 2 C x, y | x y r (2) 而集合 S x, y| a x b,c y d （3） 则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作[a,b] c,d ． 平面点集 2 2 0 2 0 x, y | x x y y 与 x, y| x x0 , y y0 分别称为以点 0 0 A x , y 为中心的 圆领域与 方领域（图 16-1）．
由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内（反之亦然），因此通常用“点A的邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号U(A；8）或U(A)来表示．点A的空心邻域是指(x,y)10<(x-x0) +(v-0)<82)或(x,y)1/x-xo<8,y-yo[<8,(x,y) (xo,y))并用记号U(A;8)或U(A)来表示.下面利用邻域来描述点和点集之间的关系，任意一点AeR?与任意一个点集ECR?之间必有以下三种关系之一：（i）内点一一若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)CE，则称点A是点E的内点；E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作intE.(ii)外点一一若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)nE=Φ，则称A是点集E的外点.(iii)界点一一若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点．即对任何正数，恒有U(A;)NE*@且U(A;)NECP其中EC=RIE是E关于全平面的余集，E的全体界点构成E的边界，记作OE.E的内点必定属于E；E的外点必定不属于E；E的界点可能属于E，也可能不属于E点A与点集E的上述关系是按“点A在E内或在E外”来区分的．此外，还可按在点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点一一若在点A的任何空心邻域U°（A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E(ii)孤立点一一若点AeE，但不是E的聚点，即存在某一正数，使得U（A)nE=Φ，则称点A是正的孤立点.显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚3
3 由于点 A 的任一圆邻域可以包含在点 A 的某一方邻域之内(反之亦然)， 因此通常用“点 A 的 邻域”或“点 A 的邻域”泛指这两种形状的邻域，并 以记号 U(A； )或 U(A)来表示．点 A 的空心邻域是指 2 2 0 2 0 0 x, y | x x y y 或 x, y| x x0 , y y0 ,x, y x0 , y0 并用记号 U A U A 0 0 ; 或 来表示． 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系． 任意一点 2 A R 与任意一个点集 2 E R 之间必有以下三种关系之一： （i）内点——若存在点 A 的某邻域 U(A)，使得 U(A) E ，则称点 A 是 点 E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为 E 的内部，记作 intE． (ii)外点——若存在点 A 的某邻域 U(A)，使得 U(A) E ，则称 A 是 点集 E 的外点． (iii)界点——若在点 A 的任何邻域内既含有属于 E 的点，又含有不属 于 E 的点．则称 A 是集合 E 的界点．即对任何正数 ，恒有 C U A; E U A; E , 且 其中 C 2 E R \ E 是 E 关于全平面的余集，E 的全体界点构成 E 的边界，记作 E ． E 的内点必定属于 E；E 的外点必定不属于 E；E 的界点可能属于 E，也 可能不属于 E． 点 A 与点集 E 的上述关系是按“点 A 在 E 内或在 E 外”来区分的．此 外，还可按在点 A 的近旁是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系： (i)聚点——若在点 A 的任何空心邻域 0 U (A)内都含有 E 中的点，则称 A 是 E 的聚点，聚点本身可能属于 E，也可能不属于 E． (ii)孤立点——若点 A E ，但不是 E 的聚点，即存在某一正数 ，使 得 U A; E 0 ，则称点 A 是正的孤立点． 显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚
点，又不是孤立点，则必为外点，例1设平面点集D= (x,3)[1≤x2 +y2 <4)(4)满足1<x2+y<4的一切点都是D的内点；满足x2+y2=1的一切点是D的界点，它们都属于D；满足x2+y2=4的一切点也是D的界点，但它们都不属于D；点集D连同它外圆边界上的一切点都是D的聚点。口根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集。开集一一若平面点集所属的每一点都是正的内点（即intE=E)，则称E为开集.闭集一一若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集．若点集E没有聚点，这时也称E为闭集。在前面列举的平面点集中，（2)所表示的点集C是开集；（3)所表示的点集S是闭集：（4)所表示的点集D既非开集，又非闭集；而且（1)所表示的点集R既是开集又是闭集.此外，还约定空集Φ既是开集又是闭集.可以证明，在一切平面点集中，只有R与g是既开又闭的点集。开域一一若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于正的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称正为开域（或称连通开集），闭域一一开域连同其边界所成的点集称为闭域，区域一一开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域。在上述诸例中，(2)是开域，（3)是闭域，（1)既是开域又是闭域又如(5)E= (x,>0)虽然是开集，但因I、IⅡI象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域.4
4 点，又不是孤立点，则必为外点． 例1 设平面点集 , |1 4 2 2 D x y x y (4) 满足 1 4 2 2 x y 的一切点都是 D 的内点；满足 1 2 2 x y 的一切点是 D 的 界点，它们都属于 D；满足 4 2 2 x y 的一切点也是 D 的界点，但它们都不 属 于 D ；点集 D 连 同 它 外 圆 边 界 上 的 一 切 点 都 是 D 的 聚 点． 口 根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集． 开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即 intE=E)，则称 E 为 开集． 闭集——若平面点集 E 的所有聚点都属于 E，则称 E 为闭集．若点集 E 没有聚点，这时也称 E 为闭集． 在前面列举的平面点集中，(2)所表示的点集 C 是开集；(3)所表示的点 集 S 是闭集；(4)所表示的点集 D 既非开集，又非闭集；而且(1)所表示的点 集 2 R 既是开集又是闭集．此外，还约定空集φ既是开集又是闭集．可以证明， 在一切平面点集中，只有 R 2与 g 是既开又闭的点集． 开域——若非空开集 E 具有连通性，即 E 中任意两点之间都可用一条完 全含于正的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开 域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域． 区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为 区域． 在上述诸例中，(2)是开域，(3)是闭域，(1)既是开域又是闭域． 又如 E x, y| xy 0 （5） 虽然是开集，但因Ⅰ、Ⅱ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是 区域．
有界点集一一对于平面点集E，若存在某一正数，使得E cU(O,r)其中0是坐标原点（也可以是其他固定点），由称E是有界点集，否则就是无界点集：上述(2)(3)(4)都是有界点集，(0)(5)是无界点集E为界点集的另一等价说法是：存在矩形区域D=[a,b]x[c,d]-E.点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集E的直径，就是d(E)= sup_p(pi,P2),Pl,P2eE其中p(pr,P2)表示P与P,两点之间的距离，当P,和P,的坐标分别为(x,yi)和(x2,y2)时，则，p(p1,P2)= /(x, -x2) +(y/ -y2)于是，当且仅当d(E)为有限值时E是有界点集根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对R2上任何三点P,，P,和P，皆有p(pr,P2)≤p(Pl,Ps)+p(P2,Ps)二、完备性定理反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础。现在把这些定理推广到R2，它们同样是二元函数极限理论的基础：为此，先给出平面点列的收敛性概念.定义 1设(P,)c R为平面点列，P。R为一固定点。若对任给的正数，存在正整数N，使得当n>N时，有P,eU(P;)，则称点列(P,)为收敛于点P。，记作lim P, =P。或 P, →P,n→00在坐标平面中，以(x,y,)与(x,y。)分别表示P,与P。时，limP,=P。显然5
5 有界点集——对于平面点集 E，若存在某一正数，使得 E UO;r, 其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点)，由称 E 是有界点集．否则就是无 界点集．上述 2、3、4 都是有界点集， 1、5 是无界点集． E 为界点集的另一等价说法是：存在矩形区域 D a,bc,d E. ． 点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集 E 的直径，就是 sup , , 1 2 , 1 2 d E p p p p E 其中 1 2 p , p 表示 1 与 P2 两点之间的距离，当 1 和 2 的坐标分别为 1 1 x , y 和 2 2 x , y 时，则， , . 2 1 2 2 1 2 1 2 p p x x y y 于是，当且仅当 dE 为有限值时 E 是有界点集． 根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对 R 2 上任何三点 1， P2 和 P3 ，皆有 p , p p , p p , p 1 2 1 3 2 3 二、完备性定理 反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础。 现在把这些定理推广到 R 2，它们同样是二元函数极限理论的基础．为此，先 给出平面点列的收敛性概念． 定义 1 设 Pn R 2为平面点列， Po R 2为一固定点。若对任给的正 数 ，存在正整数 N，使得当 n N 时，有 ; Pn Po ，则称点列 Pn 为收 敛于点 Po ，记作 n o n P P lim 或 P P ,n . n o 在坐标平面中，以 n n x , y 与 o o x , y 分别表示 Pn 与 Po 时， n o n P P lim 显然