第五章 二次型二次型及其矩阵表示二次型化二次型为标准形正定二次型沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 第五章 二次型
5.1--二次型及其矩阵表示 1.)二次型的基本概念 2.二次型的表示方法 3.线性变换与合同矩阵 沈阳师范大学 《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 线性变换与合同矩阵 2. 1. 二次型的基本概念 二次型的表示方法 5.1-二次型及其矩阵表示 3
一、二次型的基本概念定义1含有n个变量x1，X2，…，×,的二次齐次多项式：Cf(Xi,X2,*, x,)=ax? +a2x2 +..+amnnn+2a2Xx +2a3xx +...+2anXxn+2a23X2X, +...+2a2nX2Xn+... +2an-1,nXn-1Xn称为n元二次型当αi中有复数时，称之为复二当ai全为实数时称之为实二次型次型，沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x x a x a x a x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 2 n n a x x a x x a x x 23 2 3 2 2 2 2 n n a x x a x x 1, 1 2 n n n n a x x 定义1 含有n个变量 的二次齐次多 项式： 1 2 , , , n x x x 一、二次型的基本概念 ij 称为n元二次型， 当 a 中有复数时，称之为复二 次型， 当 全为实数时称之为实二次型. ij a
例如f(x1,X2,x3) = 2x2 +4x2 +5x -4xx3f(x1,X2,x) = XX2 +XX +X2X3都为二次型沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 例如 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x , x , x 2x 4x 5x 4x x 都为二次型. 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x x x x x x x
二、二次型的表示方法1.用和号表示对二次型f(x,X2,*.., xn)= ax? +a22x2 +... +annn+2a2xx2 +2a13Xix +...+2an-1,nxn-1x,规定aj, =aji, Vi, j=1,2,...,n则2a,x,x, =a,x,x, +ajx,x沈阳师范大学《线性代数》课题组
《线性代数》课题组 1．用和号表示 2 2 2 1 2 11 1 22 2 , , , n nn n f x x x a x a x a x 对二次型 二、二次型的表示方法 规定 , , 1, 2, , ij ji a a i j n 则 2 ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x 12 1 2 13 1 3 1, 1 2 2 2 n n n n a x x a x x a x x