沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第5章 向量与线性方程组

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组授课题目85.1二次型及其矩阵表示第20讲教学目的1.了解二次型的概念2.理解线性变换与合同矩阵的概念教学重点二次型的概念教学难点线性变换与合同矩阵的概念教学方法探究-讨论教学手段教学时数1学时板书与多媒体相结合备注教学过程一、二次型的基本概念定义1含有n个变量x，x2，,x，的二次齐次多项式f(x,x2,,x,)=a+anx+.+amx+2ax+2ajxg++2ax+2a23xx+...+2anx2xm+..+2an-1,nXn-IX,(2)称为n元二次型.当a,中有复数时，称之为复二次型当a,全为实数时，称之为实二次型.我们下面仅讨论实二次型.上述二次型（2）中如规定a,=aj,Vi,j=1,2,",n，则2ag=a,+a，于是（2）式可以写成f(x,x2,.,x)=a?+a2+..+anxm+a+ax2+...+aanxm+.....+amx,x,+anx+...+amx.=Zafx,i.j=l(3)计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-1

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 1 - 授课题目 §5.1 二次型及其矩阵表示 第 20 讲 教学目的 1.了解二次型的概念 2.理解线性变换与合同矩阵的概念 教学重点 二次型的概念 教学难点 线性变换与合同矩阵的概念 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 1 学时 教 学 过 程 备注 一、二次型的基本概念 定义 1 含有 n 个变量 1 2 , , , n x x  x 的二次齐次多项式 2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x  x  a x  a x  a x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 2 n n  a x x  a x x  a x x 23 2 3 2 2 2 2 n n  a x x  a x x  1, 1 2 n n n n a x x    （2） 称为 n 元二次型.当 ij a 中有复数时，称之为复二次型.当 ij a 全为实数时，称之为实二 次型.我们下面仅讨论实二次型. 上 述 二 次 型 （ 2 ） 中 如 规 定 , , 1,2, , ij ji a  a i j   n ， 则 2 ij i j ij i j ji j i a x x  a x x  a x x ，于是（2）式可以写成 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x  a x  a x x  a x x 2 21 2 1 22 2 2 n 2 n a x x  a x  a x x  2 n1 n 1 n2 n 2 nn n a x x  a x x  a x , 1 n ij i j i j a x x    （3）

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组(x)(a2... an)a21anX2..a2n记x=，则二次型（3）可记作1:(an an2... am)Xnaa2..aa21a22xa2nxTAxf(x,x2,,x)=(xX...:(aman2am八x其中A为对称矩阵.我们把A称为二次型厂的矩阵，把f称为对称矩阵A的二次型，A的秩称为二次型f的秩，记为R(f）由上面的讨论可知，任给一个二次型，都能唯一地确定一个对称阵；反过来，任给一个对称阵，都能唯一确定一个二次型.因此，二次型与对称阵之间存在一一对应的关系例1写出三元二次型f(x，2，)=×+5x+9x+6xz+10x+14x2的矩阵和矩阵表示式解因为a=1,a=5,a=9,a2=2=3,a3==5,a23=2=7，所以(x,,)的矩阵为(135)357A=579其矩阵表示式为1335f(,x2,g)=()57注由矩阵的乘法可知(123)456(x)=x+5x+9x+6x2+10xg+14xx8(A但上式不是二次型的矩阵表示例2设对称矩阵-2-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 2 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 记 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 , n n n n n nn x a a a x a a a x a a a                          x A ，则二次型（3）可记作   11 12 1 1 21 22 2 2 T 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x                        x Ax 其中 A 为对称矩阵.我们把 A 称为二次型 f 的矩阵，把 f 称为对称矩阵 A 的二次型， A 的秩称为二次型 f 的秩，记为 R( f ) . 由上面的讨论可知，任给一个二次型，都能唯一地确定一个对称阵；反过来，任 给一个对称阵，都能唯一确定一个二次型.因此，二次型与对称阵之间存在一一对应 的关系. 例 1 写出三元二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f (x , x , x )  x 5x 9x  6x x 10x x 14x x 的矩阵和矩阵表示式. 解 因为 11 22 33 12 21 13 31 23 32 a 1,a  5,a  9,a  a  3,a  a  5,a  a  7 ，所以 1 2 3 f (x , x , x ) 的矩阵为 1 3 5 3 5 7 5 7 9        A 其矩阵表示式为   1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 5 ( , , ) 3 5 7 5 7 9 x f x x x x x x x x           注 由矩阵的乘法可知   1 1 2 3 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x x x x x          2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3  x  5x  9x  6x x 10x x 14x x 但上式不是二次型的矩阵表示. 例 2 设对称矩阵

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组(231A=345151则矩阵A所对应的二次型为231J(x,x2,x)=xAx=(x 2 )3 4 5A(151）=2x+4x+x+6xz+2x+10xx例3二元二次型(,2)=x+5x2+6xx2，求R()解二次型的矩阵A(3显然R(A)=2，故R(J)=2二、线性变换与合同矩阵如前所述，在研究二次曲线时，我们可以通过线性变换消去二次型中的交叉项，使得二次型只含有平方项.下面就给出线性变换的概念定义2设X,2,,x和yi,J2,,y为两组变量，称关系式X, =C1y++Ci2J2+.+CinymX,=C2iyi+C2y2+...+C2nn.X,=Cny,+Ch2?+..*+Cmyn(4)为由X,2，",x到y,y2,",y,的一个线性变换记y)CnCi2Ci4y2C21C22X2C2n..+=：目:XnCnCaCnV则线性变换（4）可写成计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-3

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 3 - 2 3 1 3 4 5 1 5 1        A 则矩阵 A 所对应的二次型为   1 T 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 ( , , ) 3 4 5 1 5 1 x f x x x x x x x x               x Ax 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3  2x  4x  x  6x x  2x x 10x x 例 3 二元二次型 2 2 1 2 1 2 1 2 f (x , x )  x 5x  6x x ，求 R( f ) . 解 二次型的矩阵 1 3 3 5        A 显然 R(A)  2 ，故 R( f )  2 . 二、线性变换与合同矩阵 如前所述，在研究二次曲线时，我们可以通过线性变换消去二次型中的交叉项， 使得二次型只含有平方项.下面就给出线性变换的概念. 定义 2 设 1 2 , , , n x x  x 和 1 2 , , , n y y  y 为两组变量，称关系式 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                      （4） 为由 1 2 , , , n x x  x 到 1 2 , , , n y y  y 的一个线性变换. 记 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 , , n n n n n n nn x y c c c x y c c c x y c c c                                                x y C 则线性变换（4）可写成

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组x=Cy(4) 上式中矩阵C称为变换的系数矩阵.若C可逆，（4）或（4）称为可逆线性变换（或称满秩线性变换、非退化线性变换），此时有y=C-x；若C不可逆，则称为不可逆线性变换（或称降秩线性变换、退化线性变换）：若C为正交矩阵，则称为正交变换如果对n元二次型f(x,x2，"x）=x"Ax进行可逆线性变换x=Cy，则有x Ax =(Cy) A(Cy)= yCTACy= y By (B= CT AC)因为B"=(CTAC)"=CA"(CT)=CTAC=B说明B是对称矩阵，则y"By是二次型的矩阵表示，即以x，x2，"x，为自变量的二次型经可逆线性变换x=Cy成为以y,J2",y,为自变量的二次型，同时二次型矩阵由A转换为B，对于矩阵A与B的这种关系我们有如下定义：定义3两个n阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CTAC=B.称A与B合同，记作A=B.并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵.显然，合同变换不改变矩阵的秩，即若A=B，则必有R(A)=R(B)特别的，若x=Cy是正交变换，即C是正交矩阵，则有B=CAC=C-AC即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似合同矩阵具有如下性质：（1）反身性A=A；（2）对称性若A=B，则B=A：（3）传递性若A=B，B=C，则A=C巩固练习：-4-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 4 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） x  Cy （4）’ 上式中矩阵C 称为变换的系数矩阵.若C 可逆，（4）或（4）’称为可逆线性变换（或 称满秩线性变换、非退化线性变换），此时有 1 y  C x ；若C 不可逆，则称为不可 逆线性变换（或称降秩线性变换、退化线性变换）；若C 为正交矩阵，则称为正交变 换. 如果对 n 元二次型 T 1 2 ( , , , ) n f x x  x  x Ax 进行可逆线性变换 x  Cy ，则有 T T T T T x Ax  (Cy) A(Cy)  y C ACy  y By （ T B  C AC ） 因为 T T T T T T T T B  (C AC)  C A (C )  C AC  B 说明 B 是对称矩阵，则 T y By 是二次型的矩阵表示，即以 1 2 , , , n x x  x 为自变量的二 次型经可逆线性变换 x  Cy 成为以 1 2 , , , n y y  y 为自变量的二次型，同时二次型矩 阵由 A 转换为 B ，对于矩阵 A 与 B 的这种关系我们有如下定义： 定义 3 两个 n 阶矩阵 A 和 B ，如果存在 n 阶可逆矩阵C ，使得 T C AC  B . 称 A 与 B 合同，记作 A  B .并称由 A 到 B 的变换为合同变换，称C 为合同变换的 矩阵.显然，合同变换不改变矩阵的秩，即若 A  B ，则必有 R(A)  R(B) . 特别的，若 x  Cy 是正交变换，即C 是正交矩阵，则有 T 1 B  C AC  C AC 即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似. 合同矩阵具有如下性质： （1）反身性 A  A ； （2）对称性 若 A  B ，则 B  A ； （3）传递性 若 A  B ， B  C ，则 A  C . 巩固练习：

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组课后小结：-5-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 5 - 课后小结：