线性代数教案第1章行列式第1讲授课题目$1.1预备知识（绪论）1.了解和号与积号的意义2.了解全排列和逆序数的定义，掌握排列的奇偶性教学目的3.会计算排列的逆序数教学重点排列的逆序数及奇偶性教学难点排列的奇偶性教学方法教学手段教学时数2学时探究-讨论板书与多媒体相结合备注教学过程一、和号和积号24如1.和号=a,+a,++an，表示a,az,,a,的连加和.其中i称n=1A为下标，下标是虚拟变量，可由任意字母替代，如Ea,=Za=Zai=lk=lt=0在本课程中，我们还要采用双重和号，如"nZZa=ai+a2+..+ain+a2i+a22+..a2mi=l j=l+.....+a..+a.2+.+am表示m·n个数a,（i=1,2,,m,j=1,2,..,n）的连加和2.积号在学习中还要用到求积的符号，如a,=aa,a，表示i=laa,a,a,的连乘积。再如 (x, -x)=(x2 -x)(x -x)...(x, -x) ( -x2). (. -x2 ).- (, -xn-)S表示所有可能的(x-x)(i>)的连乘积二、排列及其性质在n阶行列式的定义中，要用到n阶排列的一些性质，先介绍排列的定义，定义1由自然数1,2,3，…，n组成的一个无重复有序数组i,i2i称为一个n级排列.例1由自然数2,3,4可组成几级排列？分别是什么？计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 1 - 授课题目 §1.1 预备知识（绪论） 第 1 讲 教学目的 1.了解和号与积号的意义 2.了解全排列和逆序数的定义，掌握排列的奇偶性 3.会计算排列的逆序数 教学重点 排列的逆序数及奇偶性 教学难点 排列的奇偶性 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 一、和号和积号 1.和号 如 1 2 1 n i n i a a a a ,表示 1 2 , , , n a a a 的连加和.其中i 称 为下标,下标是虚拟变量,可由任意字母替代,如 1 1 1 1 0 n n n i k t i k t a a a . 在本课程中,我们还要采用双重和号,如 11 12 1 1 1 m n ij n i j a a a a 21 22 2 n a a a m1 m2 mn a a a , 表示 m n 个数 aij i 1, 2,,m; j 1, 2,,n 的连加和. ２.积号 在学习中还要用到求积的符号,如 1 2 1 n i n i a a a a , 表示 1 2 3 n a a a a 的连乘积．再如 1 i j j i n x x x2 x1 x3 x1 xn x1 x3 x2 xn x2 xn xn 1 表示所有可能的 xi xj i j 的连乘积. 二、 排列及其性质 在 n 阶行列式的定义中，要用到 n 阶排列的一些性质,先介绍排列的定义. 定义 1 由自然数1, 2, 3, , n 组成的一个无重复有序数组 n i ,i ,i 1 2 称为一个 n 级排列. 例１ 由自然数 2, 3, 4 可组成几级排列？分别是什么？
线性代数教案第1章行列式解组成一个三级排列，它们是234,243,324,342,423,432显然，三级排列共有3！=6个，所以可以推断n级排列的总数为n！个定义2在一个n级排列i,i2,i，中，如果较大数i排在较小数i之前，即i>i，则称这一对数i构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数可表示为t(i,i2,i.).例2求T(21534），T(32541).解在五级排列21534中，构成逆序数对的有21,53,54，因此t(21534)=3.在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31,21,54,51,41，因此t(32541)=6定义3如果排列i，i2，i，的逆序数为偶数，则称它为偶排列：如果排列的逆序数为奇数，则称它为奇排列例3试求t(123...n)，T(nn-1...321),并讨论其奇偶性.解易见在n阶排列1,2,3,n中没有逆序，所以t(123.…n)=0,这是一个偶排列，它具有自然顺序，故又称为自然排列在n,n-1,3,2,1中，只有逆序，没有顺序，故有t(n(n-1)...21) =(n-1)+(n -2)+2 +1==n(n-1)2可以看出，排列n,n-13,2,1的奇偶性与n的取值有关，从而当n=4k或n=4k+1时这个排列为偶排列，否则为奇排列.定义4排列i,iz，…i中，交换任意两数i与i,的位置，称为一次交换，记为（i，i).如21534—（3）→23514，一般，我们有以下结论.定理1任意一个排列经过一次对换后，奇偶性改变（证明略）定理2在全部n级排列中（n≥2），奇偶排列各占一半（证明略）巩固练习：求（21534），T(32541)课后小结：1.n个不同元素的所有排列种数为n!种2.排列具有奇偶性3.掌握计算排列逆序数的方法-2 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 2 - 解 组成一个三级排列,它们是234,243, 324,342, 423, 432 . 显然，三级排列共有3！=6 个，所以可以推断 n 级排列的总数为n！个. 定义２ 在一个 n 级排列 1 2 n i ,i ,i 中，如果较大数 si 排在较小数 t i 之前，即 s t i i ，则称这一对数 s t i i 构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数. 可表示为 1 2 n (i ,i ,i ) . 例２ 求 （21534）,（32541）. 解 在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有 21,53,54 ，因此（21534）=3. 在 五 级 排 列 32541 中 ， 构 成 逆 序 数 对 的 有 32,31,21,54,51,41 ， 因 此 （32541）=6 . 定义 3 如果排列 1 2 n i ,i ,i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆 序数为奇数，则称它为奇排列. 例 3 试求 123n ， nn 1321 ,并讨论其奇偶性. 解 易见在 n 阶排列1,2,3,n 中没有逆序,所以 123n 0 ,这是一个偶 排列,它具有自然顺序,故又称为自然排列. 在 n,n 1,3,2,1中,只有逆序,没有顺序,故有 1 ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2 n n n n n n 可以看出，排列 n,n 1,3, 2,1 的奇偶性与 n 的取值有关,从而当 n 4k 或 n 4k 1时这个排列为偶排列,否则为奇排列. 定义 4 排列 1 2 n i ,i ,i 中，交换任意两数 t i 与 si 的位置，称为一次交换，记为 s t （i ，i ) .如 1,3 21534 23514 ,一般,我们有以下结论. 定理 1 任意一个排列经过一次对换后，奇偶性改变（证明略）. 定理 2 在全部 n 级排列中（ n 2)，奇偶排列各占一半（证明略）. 巩固练习：求（21534）,（32541） 课后小结：1.n 个不同元素的所有排列种数为 n!种 2.排列具有奇偶性 3.掌握计算排列逆序数的方法
线性代数教案第1章行列式第2 讲授课题目81.2行列式的定义2.理解n阶行列式的定义1.了解二阶、三阶行列式的定义教学目的3.掌握四种特殊行列式教学重点n阶行列式的定义教学难点n阶行列式各项符号的确定教学手段教学时数2学时教学方法探究-讨论板书与多媒体相结合备注教学过程复习引入：排列的定义、逆序数、奇偶性一、二阶、三阶行列式1.二阶行列式an称此为二阶将a,a12a21,a22四个数排成两行两列的数表，记作a21a行列式.用D表示，并规定aa2D==aa22—a1221[a21α22其中a,叫做二阶行列式的元素，元素α的第一个下标i称为行标，第二个下标j称为列标.如αi,表示这个元素位于行列式的第一行、第二列.上述二阶行列式可用对角线法则记忆，如图1-1auai2A[a21a22图1.1把a到α22的实线连接称为主对角线，aiz到a2,虚线连接称为次对角线或副对角线.二阶行列式的值可以说成是主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积.可以看出，二阶行列式一共有2个元素，共2！项：二阶行列式值中的每项均为选自不同行、不同列的两个元素的乘积。3 (-1例1计算二阶行列式2-3-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 3 - 授课题目 §1.2 行列式的定义 第 2 讲 教学目的 1.了解二阶、三阶行列式的定义 2.理解 n 阶行列式的定义 3.掌握四种特殊行列式 教学重点 n 阶行列式的定义 教学难点 n 阶行列式各项符号的确定 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 复习引入：排列的定义、逆序数、奇偶性 一、二阶、三阶行列式 1.二阶行列式 将 11 12 21 22 a , a , a , a 四个数排成两行两列的数表，记作 21 22 11 12 a a a a ，称此为二阶 行列式.用 D 表示，并规定 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a D 其中 ij a 叫做二阶行列式的元素，元素 ij a 的第一个下标i 称为行标，第二个下标 j 称 为列标.如 12 a 表示这个元素位于行列式的第一行、第二列. 上述二阶行列式可用对角线法则记忆,如图11 11 12 a a 21 22 1.1 a a 图 把 11 a 到 22 a 的实线连接称为主对角线， 12 a 到 21 a 虚线连接称为次对角线或副对 角线.二阶行列式的值可以说成是主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积. 可以看出，二阶行列式一共有 2 2 个元素，共 2！项； 二阶行列式值中的每项 均为选自不同行、不同列的两个元素的乘积. 例 1 计算二阶行列式 3 1 1 2
线性代数教案第1章行列式[3-1]解=3x2-(-1)x1= 7[12[12例2设D=问为何值时，D±0.22[12=1-222令D+0解D=[2元则入0或元±2故当入±0或入±2时，D02.三阶行列式类似地，可以定义三阶行列式a23设有九个数排成三行三列的数表，并规定a21aa3aa2a3aα23a2ia22a23=223+a2a+232[3132a3aa232-a221aa13221由上式可见，三阶行列式共有3！=6项，每项均为选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，三阶行列式可用对角线法则记忆，其规律如图1.2auai2anan+-图1.2132例3计算三阶行列式D=-104215解根据定义D=1x0×5+3×3×2+2×(-1)×1-2×0×2-3×(-1)×5-1x3x1=0+18-2-0+15-3=28注意对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式，为了研究4阶及更高阶的行列计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-4
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 4 - 解 3 1 1 2 3 2 (1)1 7 例 2 设 2 1 = 2 D ，问 为何值时， D 0 . 解 2 1 = 2 D 2 2 令 D 0 则 0 或 2 故当 0 或 2时， D 0 . 2.三阶行列式 类似地，可以定义三阶行列式. 设 有 九 个 数 排 成 三 行 三 列 的 数 表 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ， 并 规 定 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31 a a a a a a a a a 由上式可见，三阶行列式共有3!=6 项，每项均为选自不同行、不同列的三个元 素的乘积再冠以正负号，三阶行列式可用对角线法则记忆,其规律如图 1.2 ． 图 1.2 例 3 计算三阶行列式 1 3 2 1 0 3 2 1 5 D . 解 根据定义 D 1 0 5 3 3 2 2 (1)1 2 0 2 3 (1) 5 1 31 0 18 2 0 15 3 28 注意 对角线法则仅适用于 2 阶和3阶的行列式,为了研究 4 阶及更高阶的行列 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a
线性代数教案第1章行列式式，下面我们介绍n阶行列式，二、n阶行列式由二、三行列式值的规律特点，不难推出：1.n2个数排成n行n列，两边加竖线就是一个n阶行列式．n阶行列式的计算结果共有n!项，每项都来自于不同行不同列几个元素的连乘积au,~2ham。，其中JjiJj,为列标的一个n阶排列2．每项符号的确定：当列标Jjj.J.为偶排列，该项取正号；当列标jJj2j为奇排列，该项取负号.即符号可写成(-1)(ij.)由此得出行列式的一般定义：定义1由n2个数排成n行n列，称Jad2..an21a22...2nD=(1):：：anan2...am为n阶行列式，其中α,为第i行，第j列的元素；其值共n!项，每一项取自不同行不同列的n个元素的连乘积，即a,2am的代数和.其中jij2j.构成一个n级排列若用D表示行列式，则D=Z（1)(h）au2am(2)hiz-jnZ表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列所确定的项求和。（2）是（1)ii--J.的展开式，从上面的分析及定义，可得到n阶行列式的另一种定义形式：定义2D=Z（1)(4a,g.au,，即把列标写成标准排列i,为行标4i2in的一个n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式定义3D=Z(-)((aua，其中i,为行标的一个n阶排列，Jjij.j,为列标的一个n阶排列计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-5-
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 5 - 式,下面我们介绍 n 阶行列式. 二、 n 阶行列式 由二、三行列式值的规律特点，不难推出： 1. 2 n 个数排成 n 行 n 列，两边加竖线就是一个 n 阶行列式. n 阶行列式的计算 结果共有 n!项，每项都来自于不同行不同列几个元素的连乘积 1 2 1 2 . n j j nj a a a ，其中 1 2 . n j j j 为列标的一个 n 阶排列. 2. 每项符号的确定:当列标 1 2 . n j j j 为偶排列,该项取正号;当列标 1 2 . n j j j 为 奇排列, 该项取负号.即符号可写成 1 2 . ( 1) n j j j . 由此得出行列式的一般定义: 定义 1 由 2 n 个数排成 n 行 n 列，称 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a D （1） 为 n 阶行列式,其中 ij a 为第i 行,第 j 列的元素;其值共 n!项,每一项取自不同行不同 列的 n 个元素的连乘积,即 1 2 1 2 . n j j nj a a a 的代数和.其中 1 2 . n j j j 构成一个 n 级排列. 若用 D 表示行列式， 则 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a D （2） 1 2 . n j j j 表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列所确定的项求和.（2）是（1） 的展开式，从上面的分析及定义，可得到 n 阶行列式的另一种定义形式： 定义 2 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n i i i i i i n i i i a a a D ，即把列标写成标准排列 1 2 . n i i i 为行标 的一个 n 阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式. 定义 3 1 2 1 2 1 1 2 2 ( . ) ( . ) ( 1) . n n n n i i i j j j i j i j i j a a a D ，其中 1 2 . n i i i 为行标的一个 n 阶排列， 1 2 . n j j j 为列标的一个 n 阶排列