第一章 多项式F=r+r=nfrn)Mg定理证明专题-n*(nxn)=r-n(ng)（有理系数多项式）主讲人：黄影
定理证明专题 （有理系数多项式） 第一章 多项式 主讲人：黄影
高斯引理
高斯引理
定理证明专题定义 设 g(x)=bx" + bn--x"-1 +...+ bx +bo +0,b, e Z, i= 0,1,2,,n. 若 bn,bn-1,.,br,b, 没有异于±1的公因子，即bn,bn-1,"",br,bo是互素的则称g(x）为本原多项式
设 1 1 1 0 ( ) 0, n n n n g x b x b x b x b − 定义 = + + + + − , 0,1,2, , . i b Z i n = 若 b b b b n n , , , , −1 1 0 没有 则称 g x( ) 为本原多项式． 异于 的公因子，即 1 1 0 , , , , n n b b b b 1 − 是互素的， 定理证明专题
定理证明专题高斯引理两个本原多项式的积仍是本原多项式证明 设 f(x)=a,x" +an-ix"- +...+ ao,g(x) = b.x" + bm-1xm-1 +...+ b,是两个本原多项式h(x) = f(x)g(x) = d ++** + nm-+*- ++ d.反证法.若h(x）不是本原的，则存在素数P，pld,, r=0,l,..,n+m.又f(x）是本原多项式，所以p不能整除f(x)的每一个系数
设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − 是两个本原多项式． 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n m n m h x f x g x d x d x d n m n m + + − = = + + + + + − 若 h x( ) 不是本原的，则存在素数 p, 证明 | , 0,1, , . r p d r n m = + 又 f x( ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f x( ) 的 每一个系数． 反证法． 高斯引理 两个本原多项式的积仍是本原多项式． 定理证明专题
定理证明专题令a,为a,aj,,a,中第一个不能被p整除的数，即plao, play, .., plai-1, pta,.同理，g(x)本原，令b,为bo,…,b中第一个不能被p整除的数，即p|bo,plb,,pbj-1,p+b,.又 di+, =a,b, +ai+rbj- +",在这里pldi+j，p+a,bj，plai+ibj-1,矛盾.故h(x）是本原的
令 ai 为 a a a 0 1 , , , n 中第一个不能被 p 整除的数，即 1 1 | , , , . | | i i p a p a p a − 同理， g x ( ) 本原，令 bj 为 中第一个不能被 0 , , m b b p 整除的数，即 0 1 1 | , | , | , , . | j j p b p b p b p b − 又 1 1 , i j i j i j d a b a b + + − = + + 在这里 p d p a b p a b | , , | , i j i j i j + + − | 1 1 矛盾． 故 h x( )是本原的． 定理证明专题 p|𝒂𝟎