线性代数教案第3章向量与线性方程组第 11 讲授课题目$3.1向量及其运算教学目的1.了解向量的概念2.掌握向量的运算教学重点向量的运算教学难点向量与矩阵的对应关系教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合教学时数1学时备注教学过程一、向量的概念m个数a，αz，"，a构成的有序数组，称为m维向量.这m个数称为该向量的m个分量，第i个数a.称为向量α的第i个分量a,eR称α为实向量（下面主要讨论实向量）a,eC称α为复向量记法：m维向量可写成一行，记作α=(a，αz"，am），称为m维行向量.也就是行矩阵dn或者α=(a，a2,"，am)T，称为列向量，也就也可写成一列记作α=am是列矩阵.特别地有零向量：0=（0,0，"，0）负向量：(-α)=(-a，-a2,""，-am）二向量的运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算，（以行向量为例，列向量相同）1.线性运算向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算已知m维α=(a,az,"",am)，β=(b,bz,,bm)相等：若a,=b,(i=1,2,.,m)，称α=β加法：α+β=(a+b,az+b2,,am+bm)计算机与数学基础教学部（杨淑辉）1
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 1 - 授课题目 §3.1 向量及其运算 第 11 讲 教学目的 1.了解向量的概念 2.掌握向量的运算 教学重点 向量的运算 教学难点 向量与矩阵的对应关系 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 1 学时 教 学 过 程 备注 一、向量的概念 m 个数 1 2 , , , m a a a 构成的有序数组, 称为 m 维向量．这 m 个数称为该向量 的 m 个分量, 第i 个数 i a 称为向量 的第i 个分量. ai R 称 为实向量（下面主要讨论实向量） ai C 称 为复向量 记法: m 维向量可写成一行, 记作 1 2 ( , , , ) m a a a ,称为 m 维行向量.也就是 行矩阵. 也可写成一列 记作 1 2ma a a , 或者 T 1 2 ( , , , ) m a a a , 称为列向量,也就 是列矩阵.特别地有 零向量: 0 ( 0, 0, , 0 ) 负向量: 1 2 ( ) ( , , , ) m a a a 二 向量的运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. (以行向量为例,列向量相同) 1. 线性运算 向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算 已知 m 维 1 2 ( , , , ) m a a a , 1 2 ( , , , ) m b b b 相等：若 ( 1,2, , ) i i a b i m , 称 ． 加法： 1 1 2 2 ( , , , ) m m a b a b a b
线性代数教案第3章向量与线性方程组数乘：ka=(ka,kaz,",kam)减法：α-β=α+(-β)=(a-b,az-bz,,am-bm)2.运算律α=(a, az,", an), β=(b, b2,", b,), y=(c, C2,", ch)(5) 1α=α(1) α+β=β+α(2) (α+β)+=α+(β+)(6) k(lα)=(kl)(3) α+0 =α(7) k(α+β)= kα+kp(4) α+(-α) = 0(8) (k+I)α=kα+lα三、向量的几何意义在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，在平面上，以坐标原点为起点，以点P(x,y)为终点的有向线段所表示为向量OP=(x,y),我们称之为2维向量，在空间直角坐标系中，以坐标原点为起点，以点P(x,y,=)为终点的有向线段所表示为向量OP=(x,y,)，我们称之为3维向量，当m>3时，m维向量就不再有这种几何形象，我们可以通过几何术语来表达，空间常常作为点的集合，点和向量一一对应，常把以“点”为元素的空间称做点空间，把3维向量的全体所组成的集合R'={(=(x,y,z2)[x,y,zeR)叫做3维向量空间.R"={α=(aj,a2,am)laia2,amR)叫做m维向量空间.例1 设α,=(1,-1,1),α,=(-1,1,1)求2α,-3α,巩固练习：课后小结：?计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 2 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 数乘： 1 2 ( , , , ) m k ka ka ka 减法： ( ) 1 1 2 2 ( , , , ) m m a b a b a b 2.运算律 1 2 ( , , , ) n a a a , 1 2 ( , , , ) n b b b , 1 2 ( , , , ) n c c c (1) (5) 1 (2) ( ) ( ) (6) k(l ) (kl) (3) 0 (7) k( ) k k (4) () 0 (8) (k l) k l 三、向量的几何意义 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量,在平面上,以坐标 原点为起点,以点 P(x, y) 为终点的有向线段所表示为向量OP x, y ,我们称之为 2 维向量,在空间直角坐标系中,以坐标原点为起点,以点 P(x, y,z) 为终点的有向线 段所表示为向量OP x, y,z ,我们称之为 3 维向量,当 m 3 时, m 维向量就不再 有这种几何形象,我们可以通过几何术语来表达. 空间常常作为点的集合,点和向量一一对应,常把以“点”为元素的空间称做点 空间,把 3 维向量的全体所组成的集合 3 ( , , ) , , T R r x y z x y z R 叫做 3 维向量空间. ( 1 , 2 , , ) 1 , 2 , , m R m m a a a a a a R 叫做 m 维向量空间. 例 1 设 T T 1 2 (1,1,1) , (1,1,1) 求 1 2 2 3 . 巩固练习： 课后小结：
线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目第12 讲83.2向量组的线性相关性1.理解向量组与矩阵的对应关系2.掌握线性相关与线性无关的概念教学目的2.会运用判定定理及相关结论判定向量组的线性相关教学重点线性相关与线性无关的概念及判定教学难点线性相关性的判定教学方法教学时数探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合2学时备注教学过程知识储备：1.克莱姆法则Ax=0有非零解A=0（A为方阵）；2.秩R(A)=行阶梯型/列阶梯型非零行行数；3. 秩的性质max(R(A),R(B))≤R(A,B) ≤ R(A)+R(B) 一、向量组与矩阵结论：矩阵可以看成（一）矩阵与向量组的关系向量组，向量组也可定义1若干个同维数的列向量(或同维数行向量)所组成的集合叫做向量组以组成矩阵。1.mxn矩阵的全体列向量是一个含n个m维列向量的向量组,它的全体行向量含m个n维行向量的向量组.2.n个m维列向量所组成的向量组A：αj,αz,…α,构成一个m行n列的矩阵A= (α,α2,..αn)3.n个m维行向量组成向量组B：β,β，，β构成一个n×m矩阵(BT)BTB :BT（二）线性组合与线性表示定义2给定向量组A:α,αz,αm，若有一组数ki，",k，使得β=k,α,+...+k,αn,则称β为向量组αi,,α的线性组合，或β可由α，,α线性表示，称k,kz,,k，为组合系数或表示系数计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-3
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 3 - 授课题目 §3.2 向量组的线性相关性 第 12 讲 教学目的 1． 理解向量组与矩阵的对应关系 2.掌握线性相关与线性无关的概念 2． 会运用判定定理及相关结论判定向量组的线性相关 教学重点 线性相关与线性无关的概念及判定 教学难点 线性相关性的判定 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 知识储备：1.克莱姆法则 Ax 0有非零解 A 0 （ A 为方阵）； 2.秩 R(A) =行阶梯型/列阶梯型非零行行数； 3.秩的性质 maxR(A), R(B) R(A, B) R(A) R(B) . 一、向量组与矩阵 （一）矩阵与向量组的关系 定义 1 若干个同维数的列向量(或同维数行向量)所组成的集合叫做向量组. 1．mn 矩阵的全体列向量是一个含 n 个 m 维列向量的向量组,它的全体行向量 含 m 个 n 维行向量的向量组. 2．n 个 m 维列向量所组成的向量组 A n : , , 1 2 构成一个 m 行 n 列的矩阵 ( , , ) A 1 2 n 3. n 个 m 维行向量组成向量组 T n T T B : 1 , 2 , 构成一个 n m 矩阵 T 1 T 2 T n B 。 （二）线性组合与线性表示 定义 2 给定向量组 A n : , , 1 2 , 若有一组数 n k , ,k 1 使得 1 1 n n k k , 则称 为向量组 n , , 1 的线性组合, 或 可由 n , , 1 线性表示,称 1 2 , , , n k k k 为组合系数或表示系数. 结论：矩阵可以看成 向量组，向量组也可 以组成矩阵
线性代数教案第3章向量与线性方程组KK该式也可以表示为β=(ααz"",αAK，可见k.β可由α,,α,线性表示相当于方程组Ax=β有解定理1（充要条件）β可由αi,",α,线性表示 R(A)=R(A,β)，其中 A=(αi,α2,",α,).例1设α=(1,1,1)，α,=(0,1,1)，α,=(0,0,1)，β=(1,3,4)"问β能否由ααα线性表示？解法1：定义法二、向量组的线性相关与线性无关解法2：定理1定义3对n维向量组αi,α2，",α，，若存在一组不全为零的数kj,kz，",，使kα+…+k,α=0，则称向量组αi,α2α,线性相关否则，称αi,α2",α，线性无关。5点说明：1.若α,α2，"α线性无关，则只有当==，=0时才有++.+,=0成立2.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关3.向量组只包含一个向量α时若α=0则说α线性相关若α±0.则说α线性无关4.包含零向量的任何向量组是线性相关的5.含有两个向量的向量组线性相关一两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线：三个向量相关的几何意义是三向量共面三、向量组线性相关性的判定定理3（充要条件）向量组αj,α2，"α，线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。（证略）定理4（充要条件）1.向量组αα2",α线性相关矩阵A=(α,α2",α）的秩R(A)<n-4-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 4 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 该式也可以表示为 1 2 1 2 ( , , , ) n n k k k AK ,可见 可由 1 , , n 线性表示相当于方程组 Ax 有解. 定理 1（充要条件） 可由 n , , 1 线性表示 R(A) R(A, ) ， 其中 1 2 ( , , , ) A n . 例 1 设 T 1 (1,1,1) ， T 2 (0,1,1) ， T 3 (0,0,1) ， T (1,3,4) 问 能否由 1 2 3 , , 线性表示？ 二、向量组的线性相关与线性无关 定义 3 对 n 维向量组 s , , , 1 2 ，若存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使 0 k11 ks ，则称向量组 s , , , 1 2 线性相关。 否则，称 s , , , 1 2 线性无关。 5 点说明： 1 2 1 1 1 2 2 1. , , , , 0 , 0 . n n n n 若 线性无关 则只有当 时 才有 成立 2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关. 3. , 0 , 0, . 向量组只包含一个向量 时 若 则说 线性相关 若 则说 线性无关 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. 5. . 含有两个向量的向量组线性相关 两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面 三、向量组线性相关性的判定 定理 3（充要条件） 向量组 s , , , 1 2 线性相关的充要条件是其中存在一个向量 可由其余向量线性表示。（证略） 定理 4（充要条件） 1.向量组 1 2 , , , n 线性相关 矩阵 1 2 ( , , , ) A n 的秩 R(A) n ； 解法 1：定义法 解法 2：定理 1
线性代数教案第3章向量与线性方程组2.向量组α,αz,",α,线性无关一矩阵A=(α,αz",α,）的秩R(A)=n。推论1n维向量组αi,α2",α，线性相关的充分必要条件是A=0；n维向量组α1,α2，"",α，线性无关的充分必要条件是A+0推论2当m<n时，必有m维向量组α,α2，,α,线性相关.例3已知向量组αi,α2,α,线性无关，证明向量组定理3也称线性相β=α,+αz,β,=α+,β,=α+α关的等价定义线性无关.判定线性相关性的重要结论：1.向量组α1,α2,,α，线性无关，而向量组β,β2，",β，β线性相关，则β可由向量组维数未必是nα1,α2，,α,线性表示，且表示法唯一。2.部分组线性相关则整体组线性相关：整体组线性无关则任意部分组线性无关设置问题，由学生得3.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。出结论推论1：用克莱姆法4.含零向量的向量组必线性相关则解释5.如果向量组β，，β,可由向量组α，，α,线性表示，且s>t，则推论2：维数小于向β，，β,线性相关（若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.）量个数的向量组必相关max (R(A), R(B)) ≤ R(A, B) ≤ R(A) +R(B) R(A)≤R(A,B)= R(B)≤t<SR(A)≤m<n练习1证明：用定义判别下列向量组的线性相关性(1) α, =(1,0,0,1),α, =(0,1,0,3)T,α, =(0,0,1,4)(2) α, =(1,2,3)T,α, =(1,3,5),α, =(4,8,12))分析：证明方法（1）线性无关（线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关）1.定义+反证法2.A=(a,,am)（2）α=4α，故线性相关B=(a,.,a..a.)R(B)≤ R(A)+1练习2设向量组αjαz,α,的线性相关，向量组αz,α,α,线性无关，证明：4.用定义（1）α,能由αz,α,线性表示；计算机与数学基础教学部（杨淑辉）-S
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 5 - 2.向量组 1 2 , , , n 线性无关 矩阵 1 2 ( , , , ) A n 的秩 R(A) n 。 推论 1 n 维向量组 n , , , 1 2 线性相关的充分必要条件是 A 0 ； n 维向 量组 n , , , 1 2 线性无关的充分必要条件是 A 0． 推论 2 当 m n 时, 必有 m 维向量组 n , , , 1 2 线性相关． 例 3 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关, 证明向量组 1 1 2 , 2 2 3 , 3 3 1 线性无关． 判定线性相关性的重要结论： 1.向量组 s , , , 1 2 线性无关，而向量组 1 2 , , , s ， 线性相关，则 可由 s , , , 1 2 线性表示，且表示法唯一。 2.部分组线性相关则整体组线性相关；整体组线性无关则任意部分组线性无关. 3.线性无关的向量组的每个向量都添加 m 个分量后仍线性无关。 4.含零向量的向量组必线性相关． 5.如果向量组 1 ，.， s 可由向量组1，.，t 线性表示，且 s t ，则 1 ，.， s 线性相关.（若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.） maxR(A), R(B) R(A, B) R(A) R(B) R(A) R(A,B) R(B) t S 练习 1 判别下列向量组的线性相关性 （1） T T T 1 2 3 (1,0,0,1) , (0,1,0,3) , (0,0,1,4) （2） T T T 1 2 3 (1,2,3) , (1,3,5) , (4,8,12) 分析： （1）线性无关（线性无关的向量组的每个向量都添加 m 个分量后仍线性无关） （2） 3 1 4 ，故线性相关. 练习 2 设向量组 1 2 3 , , 的线性相关，向量组 2 3 4 , , 线性无关，证明： （1） 1 a 能由 2 3 , 线性表示； 定理 3 也称线性相 关的等价定义 向量组维数未必是 n 设置问题，由学生得 出结论 推论 1：用克莱姆法 则解释 推论 2：维数小于向 量个数的向量组必 相关 R(A) m n 证明：用定义 证明方法 1．定义+反证法 2. 1 ( ,, ) A m a a 1 1 ( , , , ) B m m a a a R(B) R(A) 1 4.用定义