F,(x,y)=1-cosy>0.（满足第（iv）个条件)。2故依定理18.1和18.2，方程（7）确定了一个连续可导隐函数y=f(x)：我们又注意到F.(x,y)=-1.所以按公式（5)，其导函数为(n)=-E()=-—1F,(x,y)2-cos y-lcos y2注：1）例1中取x=0,=0，事实上还可以取x=元，=元等，所以xo,的选取方法很多，只需找到一组即可。例2（P150）讨论笛卡儿（Descartes）叶形线（图18-4）x3+y3_3axy=((8)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数解：显然F(x,y)=x+y-3am)及F,F,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得F,(x,y)=3(y2 -ax)± 0的点(x,)附近，方程x3+3-3axy=0都能图18-4确定隐函数y=f(x)；所以，它的一阶与二阶导数如下：对（8）式求关于x的导数（其中y是x的函数）并以3除之，得x? +y y -ay-ay' = 0或(x2 -ay)+ (2 - ax) = 0(9)y=ay-r(v2 - ax # 0)于是(10)y?- ax再对（9）式求导，得：2x-ay+(2yy-a)y+(y2-ax)y=0即y(?-ax)=2ay-2yy-2x(11)把（10）式代入（11）式的右边，得
cos 0. 2 1 Fy (x, y) 1 y (满足第（ⅳ）个条件)。 故依定理 18.1 和 18.2，方程（7）确定了一个连续可导隐函数 y f (x) ； 我们又注意到 F (x, y) 1. x 所以按公式（5），其导函数为 . 2 cos 2 cos 2 1 1 1 , , ' y y F x y F x y f x y x ▋ 注．：1）例 1 中取 x0 0, y0 0 ,事实上还可以取 x0 , y0 等，所以 0 0 x , y 的选取方法很多，只需找到一组即可。 例 2 （P150）讨论笛卡儿（Descartes）叶形线（图 18-4） 3 0 3 3 x y axy （8） 所确定的隐函数 y f (x) 的一阶与二阶导数. 解: 显然 F(x, y) x y 3axy 3 3 及 Fx Fy , 在平面上任一点都连续， 由隐函数定理知道，在使得 , 3 0 2 Fy x y y ax 的点 x, y 附近，方程 3 0 3 3 x y axy 都能 确定隐函数 y f (x) ；所以，它的一阶与二阶导数如下： 对（8）式求关于 x 的导数（其中 y 是 x 的函数）并以 3 除之，得 0 2 2 ' ' x y y ay axy 或 0. 2 2 ' x ay y ax y （9） 于是 . 2 2 ' y ax ay x y 0. 2 y ax （10） 再对（9）式求导，得： 2 (2 ) ( ) 0, ' ' ' 2 " x ay yy a y y ax y 即 ( ) 2 2 2 . 2 " 2 ' ' y y ax ay yy x （11） 把（10）式代入（11）式的右边，得
2ay -2y* -2x =-2a'y-2p(* +y -3am)(y2 - ax)22a'xy"=--(12)再利用方程（8）就得到(y2 - ax)3由（10）式易见，曲线在点A(/2a,/4a)处有一水平切线，在点B(/4a,/2a处有一垂直切线注：1）本例中“曲线在点A(/2a,/4a)处有一水平切线”可由下列方程组求[x3 + y-3axy = 0解而得：ay-x2=0同样本例中“曲线在点B(/4a,/2a)处有一垂直切线.”可由下列方程[x3 + y3- 3axy = 0[ y2-ax=0组求解而得：（2）本例求一阶导数时也可如下进行：因为 F(,)=3(x2 -ay), F,(x,)=3(y2 -ax)所以()=-(_-F,(x,y)y?-ax3）由于在点B和原点处的任何邻域内，每一个x所对应的√值不惟一，所以方程（8）不能在那两点的邻域内确定惟一的隐函数，例3讨论方程(13)F(x,y,2)=3+x2 +y3 -z=0在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数解：由于F(0,0,0)=0,F.(0,0,0)=-1±0,F,F,FF处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点(0,0,0)附近能惟一确定连续可微得隐函数z=f(x,J)，且可求得它得偏导数如下：α=-F-y+2xax-F1-3xyzα=_F_ x3 +3y2dy1-3xyz2F
. ( ) 2 2 ( 3 ) 2 2 2 2 2 3 3 3 2 ' ' y ax a xy xy x y axy ay yy x 再利用方程（8）就得到 . ( ) 2 2 3 3 " y ax a xy y （12） 由（10）式易见，曲线在点 ( 2 , 4 ) 3 3 A a a 处有一水平切线，在点 ( 4 , 2 ) 3 3 B a a 处有 一垂直切线. ▋ 注．：1）本例中“曲线在点 ( 2 , 4 ) 3 3 A a a 处有一水平切线”可由下列方程组求 解而得： 0 3 0 2 3 3 ay x x y axy 同样本例中“曲线在点 ( 4 , 2 ) 3 3 B a a 处有一垂直切线.”可由下列方程 组求解而得： 0 3 0 2 3 3 y ax x y axy 2）本例求一阶导数时也可如下进行： 因为 F x y x ay x 2 , 3 ， F x y y ax y 2 , 3 所以 . ( , ) ( , ) '( ) 2 2 y ax ay x F x y F x y f x y x 3）由于在点 B 和原点处的任何邻域内，每一个 x 所对应的 y 值不惟一， 所以方程（8）不能在那两点的邻域内确定惟一的隐函数. 例 3 讨论方程 ( , , ) 0 3 2 3 F x y z xyz x y z （13） 在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数. 解: 由于 F Fz F Fx Fy Fz (0,0,0) 0, (0,0,0) 1 0, , , , 处处连续，根据隐函 数定理 18.3，在原点 (0,0,0) 附近能惟一确定连续可微得隐函数 z f (x, y) ， 且可求得它得偏导数如下： , 1 3 2 2 3 xyz yz x F F x z z x . 1 3 3 2 3 2 xyz xz y F F y z z y ▋
例4（反函数的存在性与其导数）设y=f(x)在x得某邻域内有连续的导函数f()，且f(x)=y;(14)考虑方程F(x,y)= y- f(x)=0由于F(xo,yo)=0,F,=l,F(xo,yo)=-f'(xo),所以只要f（x）+0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程（14）能确定出在%的某邻域U(y%)内的连续可微隐函数x=g(y)，并称它为函数=f(x)的反函数.反函数的导数是Fy11(15)g (y)=F-f(x)f(αx)事实上，这就是在第五章里曾经得到过的反函数求导公式思考与练习隐函数的概念小结隐函数存在性条件的分析与[存在唯一性定理作业隐函数定理[可微性定理课后作业：142页2；143页3（3）（6），4教学反思
例 4 （反函数的存在性与其导数）设 y f (x) 在 0 x 得某邻域内有连续的 导函数 ( ) ' f x ，且 0 0 f (x ) y ； 考虑方程 F(x, y) y f (x) 0. （14） 由于 F(x0 , y0 ) 0， Fy 1， ( , ) ( ), 0 ' 0 0 F x y f x x 所以只要 ( 0 ) 0 ' f x ，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程（14） 能确定出在 0 y 的某邻域 ( ) 0 U y 内的连续可微隐函数 x g(y) ，并称它为函数 y f (x) 的反函数.反函数的导数是 . ( ) 1 ( ) 1 ( ) ' ' ' F f x f x F g y x y （15） 事实上，这就是在第五章里曾经得到过的反函数求导公式. ▋ 思 考 与 练 习 小结 与 作业 隐函数的概念 隐函数存在性条件的分析 存在唯一性定理 隐函数定理 可微性定理 课后作业：142 页 2；143 页 3（3）（6）， 4 教 学 反 思
授课题目$18.2隐函数组4学时隐函数组定理教学内容反函数组与坐标变换的关系。隐函数求导公式。1理解《隐函数组定理定理》教学目标2理解反函数组与坐标变换的关系。3熟练运用隐函数求导公式。教学重点隐函数组存在惟一性定理。1反函数组与坐标变换的关系。教学难点2判断隐函数存在惟一性。教学方法讲授法课程导入讲授新课思考练习小结与作业教学过程设计教学过程及授课内容注释课程导入
授课题目 §18.2 隐函数组 4 学时 教学内容 隐函数组定理 反函数组与坐标变换的关系。 隐函数求导公式。 教学目标 1 理解《隐函数组定理定理》 2 理解反函数组与坐标变换的关系。 3 熟练运用隐函数求导公式。 教学重点 隐函数组存在惟一性定理。 教学难点 1 反函数组与坐标变换的关系。 2 判断隐函数存在惟一性。 教学方法 讲授法 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入
隐函数组概念前一节讨论的是由一个方程所确定的隐函数，本节将讨论由方程组所确定的隐函数组df：设F(x,y,u,v)和G(x,y,u,v)为定义在区域VR上的两个四元函数.若存在平面区域D，对于D中每一点（x.y)分别有区间J和K上唯一的一对值uEJ,veK，它们与x,y一起满足方程组[F(x, y,u,v) = 0,(1)G(x,y,u,v)= 0DCR结论：若由两个四元函数F(x,y,u,v)和G(x,y,u,v)所确定的定义在区域D上的隐函数组分别记为u=f(x,J）、V=g(x,J)，则在D上成立恒等式F(x, y, f(x, y),g(x, y)= 0,讲G(x,y,f(x,y),g(x,y)=0.授新注：1)关于隐函数组的一般情况（含有m+n个变量的m个方程所确定的m课个隐函数）将在第二十三章里用向量形式作进一步讨论，二、 隐函数组定理隐函数存在性条件的分析：为了探索由方程组（1）确定隐函数组所需要的条件，不妨假设（1）中的函数F与G是可微的，而且由（1）所确定的两个隐函数u与v也是可微的。那么通过对方程组（1）关于xy分别求偏导数，得到F+Fu,+Fy=0,(2)G,+Gu, +G,y=0,F,+Fu,+Fy,=0,(3)G,+G,u, +G,y, =0,结论：欲从（2）解出u与v，从（3）解出u,与v，其充分条件是它们的系数行列式不为零，即FuF￥0(4)GG
讲 授 新 课 一、 隐函数组概念 前一节讨论的是由一个方程所确定的隐函数，本节将讨论由方程组所确 定 的隐函数组. 结论．．：若由两个四元函数 ．．．．．．．．F(x, y,u,v) 和．G(x, y,u,v) 所确定的定义在区域 ．．．．．．．．．D 上． 的隐函数组分别记为 ．．．．．．．．．u f (x, y) 、．v g(x, y) ，则在 ．．． D 上成立恒等式 ．．．．．． ( , , ( , ), ( , )) 0. ( , , ( , ), ( , )) 0, G x y f x y g x y F x y f x y g x y 注．：1)关于隐函数组的一般情况（含有 m n 个变量的 m 个方程所确定的 m 个隐函数）将在第二十三章里用向量形式作进一步讨论. 二、 隐函数组定理 隐函数存在性条件的分析: 为了探索由方程组（1）确定隐函数组所需要的条件，不妨假设（1）中 的函数 F 与 G 是可微的，而且由（1）所确定的两个隐函数 u 与 v 也是可微 的。那么通过对方程组（1）关于 x, y 分别求偏导数，得到 0, 0, x u x v x x u x v x G G u G v F F u F v （2） 0, 0, y u y v y y u y v y G G u G v F F u F v （3） 结论．．：欲从（ ．．．2．）解出 ．．．ux 与． x v ，从（ ．．．3．）解出 ．．．uy 与． y v ，其充分条件是它们的系 ．．．．．．．．．．． 数行列式不为零，即 ．．．．．．．．． 0. u v u v G G F F （4） df：设 F(x, y,u,v) 和 G(x, y,u,v) 为定义在区域 4 V R 上的两个四元函数.若存 在平面区域 D ，对于 D 中每一点 (x, y) 分别有区间 J 和 K 上唯一的一对值 u J,v K ，它们与 x, y 一起满足方程组 ( , , , ) 0, ( , , , ) 0, G x y u v F x y u v （1） 则说方程组（1）确定了两个．．定义在 2 D R 上，值域分别落在 J 和 K 内的函数. 我们称这两个函数 ．．．．为由方程组（1）所确定的隐函数组