沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义三）第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量非正常积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分

如图18-2所示，在矩形ABB'A的AB边上F取负值，在AB边上F取正值因此对(x-α,x+α)内每个固定值x，同样有 F(x, o -β)<0,F(x, +β)>0 。图18-2根据前已指出的F(x,J)在[-β,y+β)上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的ye(y-β,y。+β)，使得满足F(x,y)= 0.③由x在(x-α,x+α)中的任意性，这样就确定了一个隐函数y=f(x)，它的定义域为(x-α,x+α)，值域含于(%-β,+β)若记U(P)=(xo-α,x +α)x(yo-β,y +β)则y=f(x）即为所求（满足结论1°的各项要求.）二），再证明f的连续性（前面已证y=f(x)，现证其连续性）只须证明：对(x-α,+α)中的任x及唯一对应的=f(x)，使得对任8>0，存在8>0，当x-对<时f(x)-f()<8即可。①由上述结论可知：对于x(x-α,x+α)内的任意点，有唯一的e(%-β,%+β)，使得=f(x)且满足 F(x,J)=0.②所以，对任给ε>0，不妨设ε<min+β-JJ-+βB)使得y-β≤y-<y+y+β则在[-6,+]上同样有：F(x,-)<0，F(x,+)>0.成立③由F的连续性及保号性存在x的某邻域(x-8,x+)(x-α,x+α)使得当x(x-8,x+)时(即x-时),有F(x,-8)<0,F(x,+)>0

如图 18-2 所示，在矩形 ABB' A' 的 AB 边上 F 取负值， 在 A'B' 边上 F 取正值．④因此对 ( , ) x0  x0  内每个固定值 x ， 同样有 F(x, y0  )  0， F(x, y0  )  0。 根据前已指出的 F(x, y) 在      0 0 y , y 上 严格增且连续，由介值性保证存在唯一的 ( , ) y  y0   y0   ，使得满足 F(x, y)  0． ⑤ 由 x 在 ( , ) x0  x0  中 的 任 意 性 ， 这 样 就 确 定 了 一 个 隐 函 数 y  f (x) ，它的定义域为 ( , ) x0  x0  ，值域含于 ( , ) y0   y0   ．若记 ( ) ( , ) ( , ), U P0  x0  x0   y0   y0   则 y  f (x) 即为所求 （满足结论 1°的各项要求．） 二）. 再证明 f 的连续性． （前面已证 y  f (x) ，现证其连续性） 只须证明：对 ( , ) x0  x0  中的任 x 及唯一对应的 y  f (x) ，使得对任   0 ，存在   0 ，当 x  x   时 f (x)  f (x)   即可。 ①由上述结论可知： 对于 x  ( , ) x0  x0  内的任意点，有唯一的 y  ( , ) y0   y0   ，使得 y  f (x) 且满足 F(x, y)  0． ②所以，对任给   0 ，不妨设 min , ,   y0    y y  y0   使得 . y0    y   y    y0   则在 [y , y   ] 上同样有： F(x, y  )  0， F(x, y   )  0 ．成立 ③由 F 的连续性及保号性存在 x 的某邻域 ( , ) ( , ), x  x   x0  x0  使得当 x  (x , x  ) 时（即 x  x   时），有 F(x, y  )  0 ，F(x, y   )  0

④因此由介值性定理，存在唯一的yE(y-8,y+8)，使得F(x,J)=0y-J<6.③由y的唯一性，推知y=f(x).这就证得：对任>0，存在>0，当-对时(x)-(<，即f(x)在x连续．由x的任意性，证得(x)在(xo-α,x+α)内处处连续．■注：1）本“隐函数存在惟一性定理”仅保证了在点P的某邻域U(P)CD内，方程F(r,y)=0 唯一地确定了一个定义在某区间(-α,x+α)内的函数（隐函数）=f(x)，并非保证在使F(x,J)=0有意义的全体区域内存在隐函数，所以该定理仅仅给出了由F(x,y)=0确定的某局部存在隐函数的一个充分条件。例如：见（P150）例22）（P147倒10-倒3行）定理18.1的条件仅仅是充分而非必要的。例如：方程y3-x3=0在点(0,0)不满足条件(iv）（F,(0,0)=0)，但它仍能确定惟一的连续函数V=X.当然，由于条件（iv)不满足，往往导致定理结论的失效。例如：（P147倒8-13行）图18-3所示的双纽线，其方程为F(x)=(+)-+y=0由于F(0,0)=0，F与F,=4y(x2+y)+2）均连续，故满足定理条件(i)（ii）（iii).函18-3但因F,(0,0)=0，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数，3）（P147倒2-P148第4行）定理中的条件(ii)和(i)是比较强的，在定理证明过程中，条件(iii)和(iv)只是用来保证存在P。的某一邻域，使得F在此邻域内关于变量y是严格单调的.因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F在

④因此由介值性定理，存在唯一的 y  (y , y   ) ，使得 F(x, y)  0， y  y   ． ⑤由 y 的唯一性，推知 y  f (x)． 这就证得：对任   0 ，存在   0 ，当 x  x   时 f (x)  f (x)   ，即 f (x) 在 x 连续．由 x 的任意性，证得 f (x) 在 ( , ) x0  x0  内处处连 续． ▋ 注．：1) 本“隐函数存在惟一性定理” 仅保证了在点 P0 的某邻域 U(P0 )  D 内，方程 Fx, y =0 唯一地确定了一个定义在某区间 ( , ) x0  x0  内的函数 （隐函数） y  f (x) ，并非保证在使 Fx, y =0 有意义的全体区域内存在隐函 数，所以该定理仅仅给出了由 Fx, y =0 确定的某局部存在隐函数的一个充 分条件。 例如：见（P150）例 2 2）（P147 倒 10-倒 3 行）定理 18．1 的条件仅仅是充分而非必要的． 例如： 方程 0 3 3 y  x  在点 (0,0) 不满足条件(iv) ( (0,0)  0) Fy ，但 它仍能确定惟一的连续函数 y  x ． 当然，由于条件(iv)不满足，往往导致定理结论的失效。 例如：(P147 倒 8-13 行)图 18-3 所示的 双纽线， 其方程为 ( , ) ( ) 0. 2 2 2 2 2 F x y  x  y  x  y  由于 F(0,0)  0， F 与 F y x y y y 4 ( ) 2 2 2    均连续，故满足定理条件(i)(ii) (iii)． 但因 Fy (0,0)  0 ，致使在原点的无论怎样 小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数． 3) （P147 倒 2-P148 第 4 行）定理中的条件 (iii) 和 (iv) 是比较强的， 在定理证明过程中，条件(iii)和(iV)只是用来保证存在 P0 的某一邻域，使 得 F 在此邻域内关于变量 y 是严格单调的． 因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“ F 在

P的某一邻域内关于y严格单调”。现在采用较强的条件(ii)和(ii)，只是为了在实际应用中便于检验。4）条件“F在P。的某一邻域内关于y严格单调”类似于一元函数存在反函数的充分条件为1-1对应的（连续的1-1对应函数必为严格单调函数，）。应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。5）（P148第5-P148第7行）如果把定理的条件(ii)、（iv)改为F(x,J)连续，且F(xo,y)±0.这时结论是存在唯一的连续函数x=g(y)定理18.2（隐函数可微性定理）设F(x,y)满足隐函数存在唯一性定理中的条件(i)-(iv)，又设在D内还存在连续的偏导数F(x,J)，则由方程（1)所确定的隐函数在y=f(x)在其定义域(xo-α,xo+α)内有连续导函数，且F(x)=-E(x,y)F,(x,y)证明：设x(x-α,x+α)，给x一增量△x使x+xe(x-α,X+α)，且使得它们所对应的函数值y=f(x)与y+Ay=f(x+Ax)均含于( -β,% +β)内。:F(x,y)=0,F(x+Ax,y+Ay)=0：.由F、F,的连续性以及二元函数中值定理（P133定理17.8），有0= F(x+Ax,y+Ay)-F(x,y)=F,(x+x,y+y)Ar+F,(x+xr,y+y)Ay,（其中0<0<1. )

P0 的 某一邻域内关于 y 严格单调”。现在采用较强的条件 (iii) 和 (iv) ，只是为了在 实际应用中便于检验。 4）条件“ F 在 P0 的某一邻域内关于 y 严格单调”类似于一元函数存在 反函数的充分条件为 1-1 对应的（连续的 1-1 对应函数必为严格单调函数，）。 应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。 5）（P148 第 5-P148 第 7 行）如果把定理的条件 (iii)、(iv) 改为 F (x, y) x 连续，且 ( , ) 0. Fx x0 y0  这时结论是存在唯一的连续函数 x  g(y). 证明：设 x  ( , ) x0  x0  ，给 x 一增量 x 使 x  x  ( , ) x0  x0  ，且 使 得 它 们 所 对 应 的 函 数 值 y  f (x) 与 y  y  f (x  x) 均含于 ( , ) y0   y0   内。 ∵ F(x, y)  0, F(x  x, y  y)  0 ∴由 Fx 、 Fy 的连续性以及二元函数中值定理（P133 定理 17.8），有 0  F(x  x, y  y)  F(x, y) F (x x, y y) x F (x x, y y) y,  x     y    （其中 0   1. ） 定理 18.2（隐函数可微性定理）设 F(x, y) 满足隐函数存在唯一性定理中的条件 (i)  (iv) ，又设在 D 内还存在连续的偏导数 F (x, y) x ，则由方程（1）所确定的隐函 数在 y  f (x) 在其定义域 ( , ) x0  x0  内有连续导函数，且 . ( , ) ( , ) '( ) F x y F x y f x y x   （5）

Ay -- F(x+Ax, y+ Ay)因而注意到上式右端是连续函数ArF,(x+Ax,y+Ay)F,(x,Jy)、F,(x,y)与f(x)的复合函数，且F,(x,y)±0(xeU(P))Ay=-F.(x,y)f(x)= lim 所以有（导函数的存在性）Ar-=0AxF,(x,y)且F(x)在(x-α,xo+α)内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数）注：1)(P148倒7-P1496行)P146已经有结论：若方程F(x,y)=0确实存在连续可微的隐函数，则可对方程F(x,J)=0应用复合函数求导法得到隐函数的导数.事实上：若把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，则有F(x,y)+F,(x,y)y=0.所以，当F,(x,y)+0时，即可推得（5）式成立。2）（自看：P148倒2-149第6行）对于隐函数的高阶导数，可用和上面同样的方法来求得，这时只要假定函数F存在相应阶数的连续的高阶偏导数。例如，要计算y"，只要对恒等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得Fr(x,y)+Fy(x,y)y +[F(x,y)+F,(x,y)y lv +F,(x,y)y =0再把（5）得结果代入上式，整理后得到"--f(F+2Fay+Fys)_2FF,F-FF-FF,F3T当然它也可由公式（5）直接对x求导而得到

因而 . ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x                 注意到上式右端是连续函数 F (x, y) x 、 F (x, y) y 与 f (x) 的复合函数，且 Fy (x, y)  0 ( ( ) U P0 x  ) 所以有 ( , ) ( , ) '( ) lim 0 F x y F x y x y f x y x x        （导函数的存在性） 且 f '(x) 在 ( , ) x0  x0  内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数） ▋. 注．：1)(P148 倒 7-P1496 行)P146 已经有结论：若方程 F(x, y)  0 确实存在连 续可微的隐函数，则可对方程 F(x, y)  0 应用复合函数求导法得到隐函数的 导数. 事实上：若把 F(x, f (x)) 看作 F(x, y) 与 y  f (x) 的复合函数时，则有 F (x, y)  F (x, y)y'  0. x y 所以，当 F (x, y) y  0 时，即可推得（5）式成立。 2)(自看：P148 倒 2-149 第 6 行)对于隐函数的高阶导数，可用和上面同 样的方法来求得，这时只要假定函数 F 存在相应阶数的连续的高阶偏导数。 例如，要计算 '' y ，只要对恒等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得 ( , ) ( , )  ( , ) ( , )  ( , ) 0. ' ' ' " Fxx x y  Fxy x y y  Fyx x y  Fyy x y y y  Fy x y y  再把（5）得结果代入上式，整理后得到   2 " ' ' 2 1 F F y F y F y xx xy yy y     , 2 3 2 2 y x y xy y xx x yy F F F F  F F  F F  当然它也可由公式（5）直接对 x 求导而得到

定理18.3（P149）若)函数F(x,x2,,x)在以点P(x,x2,.,xy)为内点的区域DcR"+I上连续；() F(x,x2,,x)=0;i）偏导数F，FsFF,在D内存在且连续；(iv)F, (,x,.x,y)+0,则在点P的某邻域U(P)D内，方程F(x,x,x,J)=0惟一地确定了一个定义在Q（xx2xy°)的某邻域U(o)cR"内的n元连续函数（隐函数）=(,x)，使得I当(xx,)eU(o)时(x,Xn (x,X,)eU(P),月F(x,x.,xn.f(,x,,x.))=0,y=f(,.,x2y=f(,x，"x）在U(o）内有连续偏导数：，J,J，而且FxF.FaJ.f=fLF,F,F,☆（可自看P149第7-22行，）最后，我们可以类似地理解由方程F(x,x"",xy)=0所确定的n元隐函数的概念.并叙述下列n元隐函数的唯一存在与连续可微性定理：四、隐函数求导举例（P149）例1（P149）设方程(7)siny=0.F(x,y)=y-x:2由于F及其偏导数Fr,F,在平面上任一点都连续（满足第（i)（i）条件iv），且F(0,0)=0，（满足第（ii）个条件，即初始条件）

☆ （可自看 P149 第 7-22 行,）最后，我们可以类似地理解由方程 Fx1 , xx ,  , xn , y  0 所确定的 n 元隐函数的概念.并叙述下列 n 元隐函数的 唯一存在与连续可微性定理： 四、隐函数求导举例（P149） 例 1（P149） 设方程 sin 0. 2 1 F(x, y)  y  x  y  （7） 由于 F 及其偏导数 Fx Fy , 在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ）条件ⅳ）， 且 F(0,0)  0, （满足第（ⅱ）个条件，即初始条件）， 定理 18.3 （P149）若 i 函数 Fx x x y n , , , , 1 2  在以点 ( , , , , ) 0 0 0 2 0 0 1 P x x x y  n 为内点的区域 1  n D R 上连续； (ii) ( , , , , ) 0; 0 0 0 2 0 F x1 x  xn y  (iii) 偏导数 Fx Fx Fx Fy n , , , , 1 2  在 D 内存在且连续； (ⅳ)  , , , ,  0, 0 0 0 2 0 Fy x1 x  xn y  则在点 P0 的某邻域 UP0   D 内，方程 Fx1 , xx ,  , xn , y  0 惟一地确定了一 个定义在 ( , , , , ) 0 0 0 2 0 0 1 Q x x x y  n 的某邻域   n U Q0  R 内的 n 元连续函数（隐函 数）   n y f x , , x  1  ，使得  1 当     1 0 x , xx ,  , xn U Q 时  , , , ,  , , ,   , 1 1 U P0 x x x f x x x x  n x  n  且  , , , ,  , , ,  0, F x1 xx  xn f x1 xx  xn   , , . 0 0 1 0 n y  f x  x   x n 2 y f x , x , , x   1  在   U Q0 内有连续偏导数： n x x x f , f , , f 1 2  ，而且 , , , , 2 2 1 1 y x x y x x y x x F F f F F f F F f n n       