定理1若插值结点x0,X1,,Xn是(+1)个互异 点，则满足插值条件Px)=yk(k=0,1,,n) 的n次插值多项式 P(x)a+ax......+anxm 存在而且是唯一的。 证明：由插值条件 P(xo)=Yo a+aXo+…+amX0=y0 P(x1)-y1 a0+411+…+an=y1 P(Xn)=yn +41Xn+…+nxi=yn 6
6 点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n) 的 n 次插值多项式 P(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且是唯一的。 n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 证明: 由插值条件 P(x0)= y0 P(x1)=y1 ··· P(xn )=yn 定理1 若插值结点x0 , x1 , ··· , xn 是 (n+1)个互异
方程组系数矩阵取行列式 1 Xo xo 1 A= X1 三 Π(x;-xj)≠0 nzi>j20 1 Xn x 故方程组有唯一解。 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的. 7
7 n n n n n x x x x x x A 1 1 1 | | 1 1 0 0 方程组系数矩阵取行列式 故方程组有唯一解. 从而插值多项式 P(x) 存在而且是唯一的. ( ) 0 0 i j n i j x x
拉格朗日插值公式 已知函数表 x Xo x1 求满足： fx) Yo V1 L(xo)=yo,L(X1)y1 的线性函数L(x) 过两点直线方程 Lx)=+4-(x-x) X1-X0 例1求115 的近似值（函数值：10.7238） 11-10 W115≈10+ (115-100)=10.7143 121-100 8
8 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 x x x x y y L x y 过两点直线方程 求满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1 的线性函数 L(x) 已知函数表 x x0 x1 f(x) y0 y1 例1 求 115 的近似值(函数值: 10.7238) (115 100) 10.7143 121 100 11 10 115 10 拉格朗日插值公式
L(9)=+4-4(c-x,) x1-X0 对称形式 L(x)= =片+- Yo 1-X0X1-X0 记 1,(g)==X,4()= -七 X1-X0 x1-xo 当x≤xsX1时 x Xo x1 0sI(x)≤1， L(x) 1 0 基函数 L(x) 0 1 0sI1(x)1 L(x)=1(x)yo+(x)y1 9
9 1 0 0 1 1 0 1 0 ( ) , ( ) x x x x l x x x x x l x 记 当 x0≤ x ≤x1 时 0≤l0(x)≤1, 0≤l1(x)≤1 x x0 x1 l0(x) 1 0 l1(x) 0 1 0 0 1 1 L(x) l (x) y l (x) y 0 1 0 1 1 1 0 0 ( ) y x x x x y x x x x L x 对称形式 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 x x x x y y L x y 基函数
二次插值问题 已知函数表 x Xo xI X2 fx) Yo yI V2 求函数L(x)=40+41X+2x2满足： L()=y0,L(1)=y1,L(x2)=y2 L(x)=lo(x)Yo+l(x)v1+1(x)y2, 10
10 二次插值问题 x x0 x1 x2 f(x) y0 y1 y2 已知函数表 求函数 L(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1 , L(x2)=y2 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2