非线性方程求根 用数值方法求非线性方程的根，通常分两步进行： 第一步：对根进行隔离，找出隔根区间，或在隔根区间内 确定一个解的近似值x； 第二步：逐步逼近，利用近似解x(或隔根区间) 通过迭代算法得到更精确的近似解， 设fx)=0的根为x*,通过迭代计算，产生序列： x0今x1今x2今…今Xm 只须 limx=x n→∞ 1/14
1/14 第一步: 对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根区间内 确定一个解的近似值x0; 设f(x) = 0的根为 x* ,通过 , 产生序列: x0 x1 x2 ··· xn ········· 用 求非线性方程的根,通常分两步进行: 第二步:逐步逼近,利用近似解x0 (或隔根区间) 通过迭代算法得到更精确的近似解. * lim x n x n 只须 非线性方程求根
一、二分法 定理2.1设函数fc)在区间a,b上连续，且 f(a)f(b)<0, 则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根。 基本思想： 对有根区间[a,b]逐次分半，直到满足精 度要求 。 b2 br X2 Xo a a 2/14
2/14 一、二分法 设函数 f (x)在区间[a，b]上连续，且 f（a）f（b）< 0， 则方程f（x）= 0 在区间（a，b）内至少有一个根。 基本思想： 对有根区间[a，b]逐次分半，直到满足精 度要求
二分法计算过程中产生区间序列 [ak,bJ(k=1,2,3,…) 显然有 [a,b]a,biaz,b...[an,bnl 有如下性质 (1)bn-an=(b-a)/2m; (2）am1≥an,bH1≤bn； (3)f(am)f(bn)<0. 当n充分大时，令 Xn= bn+an 2 3/14
3/14 二分法计算过程中产生区间序列 [ak，bk] (k= 1，2，3，……) 显然有 [a，b] [a1，b1] [a2，b2] … [an，bn ] 有如下性质 （1）bn – an = （b – a）/ 2 n； （2）an+1 ≥ an，bn+1 ≤ bn ； （3）f（an）f（bn）< 0. 当n充分大时,令 2 n n n b a x
定理2.2设x*为方程f(x)=0在区间[a,b]内的唯一根， f(x)满足f(a)f(b)<0,则二分法计算过程中第n 个区间Ian,bml的中点xn满足不等式 k.-xlst -4 2+1 证：因为an≤x≤bn,所以 k.-x=2a,+6)-x=2a.-+w.-x sa.-x1+1,-x1 (x-a)+6.-x1 4/14
4/14 定理2.2 设x *为方程f（x）= 0在区间[a，b]内的唯一根， f（x）满足f（a）f（b）< 0，则二分法计算过程中第n 个区间[an，bn ]的中点xn满足不等式 1 * 2 n n b a x x 证：因为an≤ x * ≤ bn，所以 * * ( ) 2 1 x n x an bn x ( ) ( ) 2 1 * * an x bn x [| | | |] 2 1 * * a x b x n n [( ) ( )] 2 1 * * x a b x n n
故有 b-0= x.-xs b-a 2 2n+1 由此可知，当n→∞时，xm→x*,即二分法产生的序 列收敛。 5/14
5/14 1 * 2 2 n n n n b a b a x x 故有 由此可知，当n∞时，xn x * ，即二分法产生的序 列收敛