1931 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月24日星期三
2014年12月24日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐
上讲回顾 第19讲最小二乘法 ·最小二乘法 ■极小范数最小二乘解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 。。。0。。。2
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第19讲 最小二乘法 最小二乘法 极小范数最小二乘解
最小二乘法 冬引例：实验数据处理 ·由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的 有关参数 ·理论值：S=C,t+C2 ·由于误差存在，实验结果满足。 Ax=b S1≠Ct+Cc2 (i=1,2,…,n) ,令 t S1 S2 A .E(c,c）-Ax-b lexu@mail.xidian.edu.cn ●) 矩阵论 ●●
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 最小二乘法 引例：实验数据处理 由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的 有关参数 • 理论值： • 由于误差存在，实验结果满足 • 令 2 s=c1t c + i 2 s c i 1 ≠+ = t c (i 1, 2, , n) 1 1 2 12 2 n n t 1 s t1 c s A ,x ,b c t 1 s = = = Ax=b
最小二乘法（解） 冬对于矛盾方程Ax=b,最小二乘法是求其 “解”的一种方法 即Ax-b,=min 冬引理 ·设A∈Cm×,A{1,3}由如下方程的通解构成： AX=AA(.3)Af1,3)={A(1,3)+(I-A(3)A)Z ZECnxm) ·其中，A(1,3)为A{1,3}中的某个矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 最小二乘法（解） 对于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其 “解”的一种方法 即 引理 设A∈Cm×n ，A{1,3}由如下方程的通解构成： • 其中，A(1,3)为A{1,3}中的某个矩阵 2 Ax b min − = (1,3) (1,3) (1,3) n m AX AA A{1, 3} {A (I A A)Z Z C } × = → = +− ∈
最小二乘法（解） 冬定理 ·矩阵方程Ax=b的最小二乘解为X=A13)b ·其中A(1,3)为A的任何一个{1,3}-逆矩阵 ·反之，存在X,对于任何b∈Cm均有Xb成为Ax=b的 最小二乘解，则X∈A{1,3} ☆推论 ·x是方程Ax=b的最小二乘解的充要条件是 ·x为方程AHAX=AHb的解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 最小二乘法（解） 定理 矩阵方程Ax=b的最小二乘解为 • 其中A(1,3)为A的任何一个{1,3}-逆矩阵 • 反之，存在X，对于任何b∈Cm均有Xb成为Ax=b的 最小二乘解，则 推论 x是方程Ax＝b的最小二乘解的充要条件是 • x为方程AHAX=AHb的解 (1,3) xA b = X A{1, 3} ∈