沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组

A : α, =(1,1),α, =(1, -1),α, =(2,1)例2.向量组证明：向量组A与B等价B: β, =(1,0),β, =(1,2)3证明：=β+β,β-β,α2== 号 β+ p.即A可以由B线性表示3Xβ= 1 a+ I αa+0dsβ2= α-α2+0α3:故向量组A与B等价即B可以由A线性表示沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例2.向量组 即A可以由B线性表示. 1= 1+ 2, 2 1 2 1 2= 1 2, 2 3 2 1 3= 1+ 2, 2 3 2 1 即B可以由A线性表示. 1= 1+ 2+03, 2 1 2 1 2= 1 2+03, 2 3 2 1 故向量组A与B等价. 证明：向量组A与B等价. 证明： 1 2 3 A:  (1,1),  (1,1),  (2,1) 1 2 B :   (1,0),   (1, 2)

向量组等价的充要条件定理2：向量组A:a,a2;am能由向量组m线性表示的充要条件是B: βr,β2,".., β,R(A) = R(A, B)推论：向量组之间等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A,B沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 向量组等价的充要条件 R(A)R(B)R(A,B) R(A)  R(A,B) 推论：向量组之间等价的充要条件是 定理2：向量组 能由向量组 1 2 : , , , B    l 1 2 : , , , A m a a a 线性表示的充要条件是

2)(3)1(1)30-11-1BB =例3:设α=3α21O(3)(2)(0)(1)(-1) 证明:向量组 A:α,α,与向量组 B:β,βB,β,等价证明(133213(1 3210r2+ri101-102422(A B)=r3-ri002\1r+ri-11-12002031(o 33336沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 例3:设 1 2 1 2 3 1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 , , , , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0                                                                         证明:向量组 A :  1 ,  2与向量组 B : 1 ,  2 , 3 等价 证明 1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0 A B          1 3 2 1 3 0 4 2 2 2 0 2 1 1 1 0 6 3 3 3             2 1 3 1 4 1 r r r r r r    

A,B321311323222042013+r2(A,B) :=r4-3r02一福O33036000OR(A, B) = 2R(A)= 2ABR(B)= 2 :: R(A)= R(B)= R(A,B)=2所以:向量组 A:α,α,与向量组 B:β,β2,β等价沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组  R(A)  2 R(B)  2  R(A)  R(B)  R(A,B)  2 1 3 2 1 3 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       1 3 2 1 3 0 4 2 2 2 0 2 1 1 1 0 6 3 3 3             2 3 2 4 2 1 2 3 r r r r r    A 所以:向量组 A :  1 ,  2与向量组 B : 1 ,  2 , 3 等价 (A, B)  R(A,B)  2 B A,B

小结一、向量与向量组之间的关系（线性组合与线性表示）二、向量组与向量组之间的关系（向量组等价）判定方法：求向量组构成矩阵的秩沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 小 结 （ )