沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 7.4 正态总体均值与方差的区间估计

47.4正态总体均值与方差的区间估计一、单个正态总体的均值二、单个正态总体的方差沈阳师范大学

7.4 正态总体均值与方差的区间估计 一、单个正态总体的均值 二、单个正态总体的方差

一、单个正态总体的均值设给定置信水平为1-α,并设X,Xz,,X,为总体N(u,α2)的样本,X,s2分别是样本均值和样本方差。均值u的置信区间(1)2为已知，由上节例1可知:u的一个置信水平为1-α的置信区间X--uα/2, X +.Uα/2yn

. ( , ) , , 1 , , , , 2 2 1 2 本方差 总体 的样本 分别是样本均值和样 设给定置信水平为 并设 为 N X S X X Xn   −  一、单个正态总体的均值 (1) ,  2为已知 由上节例1可知: 的一个置信水平为 1 − 的置信区间 , . / 2 / 2       −  +    u n u X n X 均 值  的置信区间

(2)α2为未知,u的置信水平为1-α的置信区间一x_X+.=tα/2(n-l),tα/2(n-l)Vn推导过程如下：O由于区间|x±土中含有未知参数。,不能Uα/2Vn直接使用此区间但因为S2是2的无偏估计,可用 =s2替换

(2) ,  2为未知 , , / 2 直接使用此区间 由于区间 中含有未知参数 不能          u n X , , 2 2 2 但因为 S 是 的无偏估计 可用 S = S 替换 的置信水平为1−的置信区间       − ( −1), + ( −1) / 2 / 2 t n n S t n X n S X   推导过程如下:

at-α/2(n -1)tα/2(n -1)

/ 2 t n( 1) t n 1 / 2 − ( 1) −  −   1 −

x-μ又根据P135定理2(2)知~ t(n -1)S//nX-μ则 P-S//nS即P/X(n-1)<u<x+于是得μ的置信度为1-α的置信区间X.=-ta/2(n-l), X+-tα/2(n-1)InY

( 1) ( 1) 1 ,  / 2   / 2 = −       − −   + t n − n S t n X n S 即 P X 于是得 的置信度为1 − 的置信区间       − ( −1), + ( −1) / 2 / 2 t n n S t n X n S X   135 2 2 ~ ( 1), ( ) / X P t n S n −  又根据 定理 知 − ( 1) 1 , / ( 1) / 2 / 2     = −        − − − −  t n S n X 则 P t n