沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组

6a2 +ai22 +...+am124b,a122 +a222 +... +am2mmbain2 +aan2 +...+a.nmmna2 +ai22 +...+amm =bAx=β 有解ai2 +a22 +...+am2m =b,R(A)=RAβain +a2n2 +...+amn m =b,沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 11 1 12 2 1 1 12 1 22 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n mn m n a a a b a a a b a a a b                               Ax   有解 R(A)R(A,) 11 1 12 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 m m m m n n mn m a a a a a a a a a                             1 2 n b b b        

设α, =(1,1,1)T, α, =(0,1,1)T, α, =(0,0,1)T,例1β=(1,3,4)，问β能否由α,αz,α,线性表示？若能求出表达式。解: (αi,α2,αs[β)0d1r2-ri3010027r3-ri11430沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 1 0 0 1 1 1 0 3 1 1 1 4        1 0 0 1 0 1 0 2 0 1 1 3       解： 2 1 3 1 r r r r    1 , 2 ,3  

013-12(α,α2,α,|β)=010|223OOR(A)= R(Aβ) = 3Aβ能由αα2,α线性表示00β=α +2α2 +α200+21+沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1       R(A)  R(A  )  3  能由 1 2 3  , , 线性表示 3 2 rr 1 0 0 1 0 1 0 2 0 1 1 3       1 2 3  α 2α α 1 , 2 ,3    1 1 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 1                                            A

四.「向量组之间的关系给定两个向量组A: αy, α2, ..., αr B: βy, β2, .., β.若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示02例如：能由线性表示0 1沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 四. 向量组之间的关系 A: 1, 2, ., r B: 1, 2, ., s 若B组中的每个向量都能由A组中的 向量线性表示, 则称向量组B能由向 量组A线性表示. 给定两个向量组 例如: 能由 线性表示, 2 1 3 4 , 1 0 0 1

给定两个向量组A: α,α2, ...,αrB: β,β2,...,βs若向量组B能由向量组A线性表示，同时向量组A能由向量组B线性表示，则称这两个向量组等价1)向量组A与其自身等价（反身性）；(2）若A与B等价，则B与A等价（对称性）；（3）若A与B等价且B与C等价，则B与A等价（传递性）.沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 若向量组B能由向量组A线性表示，同时 向 量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向 量组等价. A: 1, 2, ., r B: 1, 2, ., s 给定两个向量组 (1)向量组A与其自身等价(反身性); (2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性); (3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性)