沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组

三、向量与向量组的关系定义2给定向量组A:α1,α2，,αm，任何一组实数k,kz,,km称向量kα+kαz+.+kmm为向量组A的一个线性组合ki,k2,km为这个线性组合的组合系数100如 A:α =[,α=0，2,-1,1为组合系数0 1,α =0(0)12α-α +α,为A的一个线性组合沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 三、向量与向量组的关系 为向量组A的一个线性组合. 1 2 k , k ,, km 为这个线性组合的组合系数. 定义2给定向量组A: ，任何一组实数 1 2  , ,,m 1 2 k ,k ,,km 称向量 k11k22 kmm 如 1 2 3 1 0 0 0 , 1 , 0 , 0 0 1                                      为A的一个线性组合. 1 2 3 2   2,-1,1为组合系数

定义3给定向量组A：αi,α2，…,αm和向量β,若存在一组实数2,22,…,m使得β=2aα+2a,+...+amαm则称向量β是向量组A的一个线性组合，或称向量β可由向量组A线性表示结论1：零向量可由任意一组向量线性表示A:α,α,.αO = 0α, +0α, +.:+0α,沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组   11  2a2  m m 则称向量β是向量组A的一个线性组合,或称向量β 可由向量组A线性表示. 1 2 0 0 0 O  α  α    αr 结论1：零向量可由任意一组向量线性表示。 1 2 : , , A   r 给定向量组A: 和向量β,若存 在一组实数 ,使得 1 2  , ,  , m 1 2  , ,,m 定义3

结论2：任意向量均可由单位向量组线性表示Ra1(1)0)C00a?1α =e=e, =e, =..·..:(0)(0)Aa1n01)(0)ai010因为a.2+...+a.+a.α==a....00an沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 结论2：任意向量均可由单位向量组线性表示. 1 1 0 0 e         2 0 1 0 e         0 0 1 n e         . 因为 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1                                                      n n a a a a a a       1 2 n a a a         

定理1:向量β可由向量组A：α,α，;Qm线性表示：方程组Ax=β 有解，其中 A=(α,α2,αm)R(A) = R(A,β)M,2,·,2m使得证明：设存在实数β=Aα +2α2 +...+mQm(b)alah2m即b,a2a2am2+22baaa沈阳师范头学mn《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 定理1： Ax   R(A)  R(A, ) 向量β可由向量组A： 线性表示： 方程组 有解，其中 A1 ,2 ,m  1 2 , ,,m 证明：设存在实数 使得 1 2  , ,,m   11 22 mm 即 11 12 1 12 22 2 1 2 1 2 m m m n n mn a a a a a a a a a                                               1 2 n b b b        

(b)aa2mb,an2Q2m22n+^abmna +ai2 +. + ammmai2 + a222 +... + am211m2ain +a2n 2 +...+amn沈阳师范大学《线性代数》课题组

《线性代数》课题组 11 1 12 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 m m m m n n mn m a a a a a a a a a                             11 12 1 12 22 2 1 2 1 2 m m m n n mn a a a a a a a a a                                               1 2 n b b b        