六、函数的可导性与连续性的关系第二章一元函数微分学及其应用定理1若函数f(x）在x处可导，则函数f(x)在x处必连续证明=f"(x），因此，lim若函数f（x）在x.处可导，由定义得Ax->0Ax.Ar= f(x).0=0lim Ay= limAx-0Ar-0△x故函数f（x）在x。处必连续26D
26 六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 定理1 若函数 f x( ) 在 处可导，则函数 在 处必连续. 0 x f x( ) 0 x 证明 若函数 f x( ) 在 x0 处可导，由定义得 lim x 0 ( 0 ) ， 因此， y f x → x = ( 0 ) 0 0 lim lim 0 0 x x y y x f x → → x = = = 故函数 f x( ) 在 处必连续. 0 x
六、函数的可导性与连续性的关系第二章一元函数微分学及其应用注函数连续未必可导，这说明连续是可导的必要条件例如，函数f(x)=/x在（-0,+o）上连续，但在点x=0处不可导.这是因为在点x=0处有x-0f(0 +△x)- f(O)limlim (△x)lim3=+80Ax-→0ArAxAxr→0Ar-→0JJ派即导数为无穷大（导数不存在）：从图形上看（见Ox图2-9），在该点处有与x轴垂直的切线x=0图2-927
27 六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 注 函数连续未必可导， 这说明连续是可导的必要条件. 0 (0 ) (0) lim x f x f → x + − 例如，函数 在 上连续，但在点 处不可导.这是 因为在点 处有 3 f x x ( ) = (− + , ) x = 0 x = 0 即导数为无穷大（导数不存在）. 从图形上看(见 图2-9)，在该点处有与 x 轴垂直的切线 x = 0. y x O y= x 3 图 2-9 3 0 0 lim x x → x − = ( ) 2 3 0 lim x x − → = = +
六、函数的可导性与连续性的关系第二章一元函数微分学及其应用x+0xsin由 lim f (x)=limxsin-1再比如，f(x)=x-(x0,x=0得f(x)在x=0处连续，由Cxsin-f(x)-f(0)xlimlim= lim sin不存在，x-0x-0x→0x->0xx-→0yt1=xsinxV得f(x）在x=0处不可导。由图形可知文（见图2-10），曲线在x=0附近无限次震荡1/元-1/元1图2-1028O
28 六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 再比如， ( ) 1 sin , 0 0, 0 x x f x x x = = 由 0 0 ( ) ， 1 lim lim sin 0 x x f x x → → x = = 得 f x( ) 在 x = 0 处连续，由 ( ) ( ) 0 0 0 1 sin 0 0 1 lim lim limsin x x x 0 0 x f x f x → → → x x x − − = = − − 不存在， 得 在 处不可导。由图形可知 （见图2-10），曲线在 附近无限次震荡. f x( ) x = 0 x = 0 y 1 O x y = x sin 1 x -1/π 1/π 图 2-10
七、函数的和、差、积、商的求导法则第二章一元函数微分学及其应用定理2若u(x）、v(x）在点x处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有(1) [u(x)±v()]=u(x)±v(x) ;(2) [u(x)-v(x)} =u'(x)>(x)+u(x)>(x) ;u'(x)v(x)-u(x)v'(μx)[曾]2((x)±0)(3)v(x)(x)290
29 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 定理2 若 、 在点 处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数 也都存在，且有 u x( ) v x( ) x （1） u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ； = （2） u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ； = + （3） （ ）. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 u x u x v x u x v x ' ' v x v x − = v x( ) 0
七、函数的和、差、积、商的求导法则！第二章一元函数微分学及其应用我们仅证明(2)[u(x)·(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)证明[u(+) (+)] = im (x+4) (++ 1) -α() ()Ar-→0Axu(x+Ax)v(x+Ax)-u(x)v(x+Ax)+u(x)v(x+Ax)-u(x)v(x)= limAxAx-→0[+((+)+()++= limAxAxAr-→>0(++ )-() (++Ar)+ m () (++4)-~()= limAxAxAr→0u'(x)v(x)+u(x)v'(x)30000
30 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 证明 我们仅证明（2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim x u x x v x x u x v x u x v x → x + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim x u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x → x + + − + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim x u x x u x v x x v x v x x u x → x x + − + − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x u x x u x v x x v x v x x u x → → x x + − + − = + + = + u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ). u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) = +