三、简单函数的求导第二章一元函数微分学及其应用求f(x)= sin x 的导数例5解AxAxAr2cosX+sinsinsin(x+Ax)-sin x22Ar2(sinx)= lim=limlimcosx+=coSx2ArAxAxAr-→0Ar->0Ar-→02同理（cosx)=-sinx1600
16 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例5 求 ( ) sin 的导数. f x x = ( ) ( ) 0 0 2cos sin sin sin 2 2 sin lim lim x x x x x x x x x → → x x + + − = = 0 sin 2 lim cos cos 2 2 x x x x x → x = + = 同理 (cos sin x x ) = −
三、简单函数的求导第二章一元函数微分学及其应用例6 求 f(x)=a(a>0,a±1) 的导数ar+ArAr-a-1alim解axlimaInaaArAr-→0AxAr-0特别地，当α=e 时，(et）=elne=e，即以e为底的指数函数的导数就是它本身177
17 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例6 ( ) ( 0, 1) x 求 f x a a a = 的导数. ( ) 0 lim x x x x x a a a x + → − = (e =e ln e e ) x x x 特别地，当a = e 时， = ，即以 e 为底的指数函数的导数就是它本身. 0 1 lim x x x a a x → − = ln x = a a
三、简单函数的求导第二章一元函数微分学及其应用例7 求f(x)=logax(a>0,a±1) 的导数解ArArloga1+log. (x+Ax))-log.xxx)=limlimloglim一AxAr->0ArAr->0Ar-0Ax·lnaxlna特别地，(lnx)-x1800
18 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例7 求 ( ) ( ) 的导数. log 0, 1 a f x x a a = ( ) ( ) 0 log log log lim a a a x x x x x → x + − = 0 0 log 1 1 lim lim ln ln a x x x x x x → → x x a x a + = = = 特别地， ( ) 1 ln x x =
四、左、右导数第二章一元函数微分学及其应用下面我们来看V=x点x=0处的导数1x/-10|f(x)- f(0)xlimlimlimx-0x-0x→0x-→>0x-0x我们发现这个极限不存在，但是它的左极限xx-xxlimlimlim-1lim都是存在的-1和右极限x→0*xx-→0* xx-0xx→0x所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念1900
19 四、左、右导数 第二章 一元函数微分学及其应用 下面我们来看 y x =| | 点 x = 0 处的导数. 0 0 0 ( ) (0) | | | 0 | | | lim lim lim x x x 0 0 f x f x x → → → x x x − − = = − − 我们发现这个极限不存在， 0 0 | | lim lim 1 x x x x x x → → − − − = = − 和右极限 0 0 | | lim lim 1 x x x x x x → → + + = = 所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念. 都是存在的. 但是它的左极限
四、左、右导数第二章一元函数微分学及其应用f(xo +Ax)- f(x)f(x)-f(xo)Aylimlim若一limAxrAxAr-→>0tAr->0X-→X0X-Xo存在，则称其为函数f（x）在x处的右导数，记作f（x）；f(xo +Ax)-f(xo) 1f(x)-f(xo)Ay= lim若limslimArAr→0AxAx->0X-XoX-→x0存在，则称其为函数f（x）在x。处的左导数，记作f（x）00020
20 四、左、右导数 第二章 一元函数微分学及其应用 若 若 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x + + + → → → + − − = = − 存在，则称其为函数 f x( ) 在 x0 处的右导数，记作 f x + ( 0 ) ； ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x − − − → → → + − − = = − 存在，则称其为函数 f x( ) 在 处的左导数，记作 . 0 x f x − ( 0 )