二、导数的定义第二章一元函数微分学及其应用如果y=f(x）在（a,b）内的每一点处均可导，则称y=f(x）在（a,b)内可导．这时（α,b）内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作f'（x），y'dydf(x)或dxdxf (x+Ax)-f(x)Ay = lim即有 f'(x)= limAxAr-0AxAr-→0显然，函数y=f（x）在xo处的导数，就是导函数f（x）在xo处的函数值'(x0)= f'(x)| =x1100O
11 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 显然，函数 y f x = ( ) 在 x0 处的导数，就是导函数 f x ( ) 在 x0 处的函数值 ( ) ( ) 0 0 x x f x f x = = ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x y f x x f x f x → → x x + − = = 如果 在 内的每一点处均可导，则称 在 内可导. y f x = ( ) (a b, ) y f x = ( ) (a b, ) 由函数的定义就可以得到一 个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数， 即有 f x ( ) y d d y x d ( ) d f x x 记作 ， ， 或 ， 这时 (a b, ) 内的每一点都对应一个导数值
二、导数的定义第二章一元函数微分学及其应用例1求函数y=x2在x=1处的导数f(1).解当x由1变到1+△Ax时，函数相应的增量为Ay = (1 + Ar)3 - 13 = 3. Ax + 3 (Ar)2 + (Ar)A = 3 +3Ax +(Ax)*,Ar所以Ay lim(3+3△x +(△x)) =3f'(l)= limAr-0△xAx-→(1200
12 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 所以 例1 求函数 在 处的导数 . 3 y = x x =1 f (1) 当 x 由1 变到 1+ x 时，函数相应的增量为 3 3 2 3 y = (1+ x) −1 = 3 x + 3(x) + (x) 3 3 ( ) , 2 x x x y = + + 2 0 0 (1) lim lim (3 3 ( ) ) 3 x x y f x x → → x = = + + = 解
二、导数的定义第二章一元函数微分学及其应用例2 设f'(O）存在，试求下列各极限f(x)f(2x)-f(0)lim其中 f(O)=0(2)(1) limx-→0xx→0xf(2x)- f(0)f(2x)- f(0)f(2x)- f(0)2=2f(0)2.lim解(1)limlim12x-02x-→02x→0x-0x(2x-0)2f(x)f(x)- f(O)limlim(2)因为f(0)=0,于是f'(O)x-0x-0x-0x13000
13 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 （1） 例2 设 存在，试求下列各极限: （1） f (0) 0 (2 ) (0) lim x f x f → x− （2） , ( ) lim 0 x f x x→ 其中 f (0) 0 = 0 2 0 (2 ) (0) (2 ) (0) lim lim 1 (2 0) 2 x x f x f f x f x x → → − − = − 2 0 (2 ) (0) 2 lim 2 (0); x 2 0 f x f f → x − = = − 因为 f (0) = 0, 于是 (0). 0 ( ) (0) lim ( ) lim 0 0 f x f x f x f x x x = − − = （ → → 2） 解
三、简单函数的求导第二章一元函数微分学及其应用下面根据导数的定义求一些简单函数的导数例3求f(x)=C (C 为常数)的导数解C-C(C)lim一=0Ar-0Ax14O
14 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 例3 求 f x C ( ) = ( C 为常数)的导数. 解 ( ) 0 lim 0 x C C C → x− = = 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数
三、简单函数的求导第二章一元函数微分学及其应用例4求f (x)=x"(n 为正整数)的导数解（x)lxo=lim=-x) = nx"-1= lim (xn-1 + xoxn-2 +...+ x"-l)x-→xo X-Xox>x即（x"）=x"-1．一般地，当x±0，y=x"有定义时，ArAxL(x+Ar)" - xux= limx.=ux-limhlimFXAAr-→0AxAr-→0AxAr→0Ax当x=0时，y=x"有定义时也有上式成立1；取μ=-1则有(）Vx，则有例如，取μ=2V斤n15VK
15 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 例4 求 ( ) ( 为正整数)的导数. n f x x = n 解 ( ) 0 0 0 0 lim n n n x x x x x x x x x = → − = − 一般地，当 x 0 ， y x = 有定义时， ( ) ( ) 0 lim x x x x x x → + − = 0 lim x x x x x → = 当 x = 0 时, y x 有定义时也有上式成立. = 例如，取 ，则有 ； 1 2 = ( ) 1 2 x x = ( ) 0 1 2 1 0 0 lim n n n x x x x x x − − − → = + + + 1 0 n nx − = 即 ( ) n n 1 x nx − = . 0 1 1 lim x x x x x → + − = = −1 2 1 1 x x = − 取 ，则有 . 1 x − =