一、割线与切线第二章一元函数微分学及其应用当N→M，即x一→x。时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限位置上的直线MT称为曲线在M点处的切线y4y=f(x)f(x)- f(xo)此刻切线的斜率即为k=lim-y=limNx-XX-XoX→xoX-XoAVTM从上面的例子可以看出在求切线斜率的过程中，需要用到极限Arf(x)-f(xo)+oxlimxox-→>xoX-Xo图2-6006
6 一、 割线与切线 第二章 一元函数微分学及其应用 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x x x y y f x f x k → → x x x x − − = = − − 从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过 程中， 需要用到极限 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − − 当 ， 即 时， 如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限 位置上的直线 称为曲线在 点处的切线. x→x N M → 0 MT M 此刻切线的斜率即为 y O x C M N y f x = ( ) T α 0 x x Δy Δx 图 2-6
二、导数的定义第二章一元函数微分学及其应用定义设函数y=f(x）在x的某个邻域内有定义，当x在x。处增量为△x（x+△x在该邻域内）时，相应地，函数有增量Ay=f（x+△x）-f（xo）如果f(xo +△x)- f (xo)Ayf(x)-f(xo)limlimlimAr→0AxAr-→0 △xx-→Xox-Xo存在，则称该极限为=f(x）在点x。处的导数，记为df(x)dy()），，x=%o 或X=Xodx0C
7 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 定义 设函数 在 的某个邻域内有定义，当 在 处增量为 （ 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 . y f x = ( ) 0 x x 0 x x 0 x x + = + − y f x x f x ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x → → → x x x x + − − = = − 存在，则称该极限为 y f x = ( ) 在点 x0 处的导数，记为 f x ( 0 ) ， 0 x x y = 0 d d x x y x ， = 或 0 d ( ) d x x f x x = 如果
一导数的定义第二章一元函数微分学及其应用这时也称函数y=f（x）在点x。处可导如果该极限不存在，称函数y=f(x）在点x处不可导Ay=8o时，也称函数y=f(x)在点x处的导数为无穷大特别地，如果limAr-0AxK7
8 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 这时也称函数 y f x = ( ) 在点 处可导. 0 x 如果该极限不存在，称函数 y f x = ( ) 在点 处不可导 . 0 x 特别地，如果 时，也称函数 在点 处的导数为无穷大. 0 lim x y → x = y f x = ( ) 0 x
二、导数的定义第二章一元函数微分学及其应用例如，对于函数V=x，在点x=0处（见图2-7）(0+△x) - 0Aylim=lim△x=0，极限存在limAx-→>0 △xAr→>0AxrAx-→>010图2-7y=x而对于函数V=xl,在点x=0处（见图2-8）Ay[0+△x|-10|[Ax]limlimlim，极限不存在AxAr->0△xAr-→>0Ar-0AxJO在x=0处不可导，而y=x2由此可知，函数y=xldy-0在x-0处导数为零，即图2-8dx0009
9 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 例如，对于函数 在点 处（见图2-7）， 2 y x = , x = 0 0 lim x y → x ( ) 2 0 0 0+ 0 = lim lim 0 x x x x → → x − = = ，极限存在. y x O 图 2-7 而对于函数 y x =| |, 在点 x = 0 处（见图2-8）， 0 lim x y → x 0 0 |0+ | | 0 | | | = lim lim x x x x → → x x − = ，极限不存在. O x y 图 2-8 y x =| | 2 y x = 由此可知，函数 y x =| | 在 x=0 处不可导， 2 y x = x=0 0 d 0 d x x y x = = 而 在 处导数为零，即
二导数的定义第二章一元函数微分学及其应用导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个Ay更一般性、也更抽象的概念是函数=f(）在[,+△x]上的平均变Ardy化率，而导数则反映函数y=f（x）在点x处的瞬时变化率，它实dx际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”：107
10 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个 更一般性、也更抽象的概念. 是函数 在 上的平均变 化率， y f x = ( ) y x x x x 0 0 , + 它实 际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”. 0 x 0 d d x x y x 而导数 = 则反映函数 y f x = ( ) 在点 处的瞬时变化率