课前导读本节主要讨论复合函数和乘积函数的积分：在学习换元法和分部法之前，我们要先复习一下本节会用到的微分公式和三角函数的积化和差公式微分计算kdx = dkx; xdx = d2= dx = d In|xl; e'dx = de".x11dx = d/x;dx = darctan x,2/x1+xsinxdx = d(-cosx);cosxdx=dsinx310A
课 前 导 读 31 本节主要讨论复合函数和乘积函数的积分. 在学习换元法和分部法 之 前, 我们要先复习一下本节会用到的微分公式和三角函数的积化和 差公式. 微分计算: 1 d d ln ; e d de ; x x x x x x = = 2 1 1 d d ; d d arctan ; 2 1 x x x x x x = = + sin d d( cos ); cos d dsin x x x x x x = − = . 2 d d ; d d ; 2 x k x kx x x = =
课前导读积化和差cosαcosβ=-=[cos(α + β)+ cos(α - β)]sin αcos β = [sin(α+ β)+ sin(α - β)];sin αsin β=-[cos(α + β)- cos(α- β))32
课 前 导 读 32 = cos( + )+ cos( − ) 2 1 cos cos ; = sin ( + )+ sin ( − ) 2 1 sin cos ; = − cos( + )− cos( − ) 2 1 sin sin . 积 化 和 差
一、第一类换元法（凑微分法）第三章一元函数积分学及其应用利用上节介绍的不定积分的性质及基本积分公式表所能计算的不定积分是很有限的，必须进一步研究不定积分的求法，本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类，即第一类换元法与第二类换元法33
33 第三章 一元函数积分学及其应用 利用上节介绍的不定积分的性质及基本积分公式表, 所能计算的不定积分 是很有限的, 必须进一步研究不定积分的求法. 本节把复合函数的微分法反过来 用于求不定积分, 利用中间变量的代换, 得到复合函数的积分法, 称为换元积分 法, 简称换元法. 换元法通常分为两类, 即第一类换元法与第二类换元法. 一、第一类换元法(凑微分法)
一、第一类换元法（凑微分法）第三章一元函数积分学及其应用定理1设f(u)具有原函数F(x),u=(x)可导,则F[p(x)是f[p(x)lp(x的原函数,有换元公式[(o(x)()dx=[()dlu=0()因为F(x)是f(u)的原函数,故「f(u)du=F(u)+C.又u=(x)可微证明故由复合函数微分法，有du=p(x)dx=f[p(x)](x)dx,从而由不定积分定义得J f [p(x)]o'(x)dx=F [p(x)]+C-[J f (u)dulu=0(n)34O
34 第三章 一元函数积分学及其应用 定理 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) f x x x f u u d d u x = = . 证明从而由不定积分定义得 f φ x φ ' x dx=F φ x +C= f u du u=φ x . 一、第一类换元法(凑微分法) 设 f (u)具有原函数 F x( ) , u =(x)可 导,则 F x ( ) 是 f x x ( ) ( ) 的原函数,有换元公式 因 为 F x( ) 是 f (u)的原函数,故 f u u F u C ( )d = + ( ) . 又 u =(x)可 微, 故由复合函数微分法, 有d d u x x =( ) =𝑓[𝜑(𝑥)]𝜑 ′(𝑥)𝑑𝑥
一、第一类换元法（凑微分法）第三章一元函数积分学及其应用注 第一类换元法的关键是:在求/g(x)dx时,如何将g(x)化为g(x)=f(x)lp(x)的形式.其具体作法可按如下步骤进行(1)变换积分形式(或称凑微分),即[f(x)dx=[g[p(x)]p(x)dx;(2)作变量代换u=p(x),有/f(x)dx=g(u)du;(3)利用常用的积分公式求出g(u)的原函数 F(u),即得「g(u)du=F(u)+C,从而[f(x)dx=F(u)+C;(4)回到原来的变量,将 u= p(x)代入即得[f(x)dx=F[p(x))+C读者在熟练了这四个步骤以后，也可不必引入中间变量u=(x）这和我们学习过的复合函数求导法则相类似请看下面的例题35
35 第三章 一元函数积分学及其应用 注 第一类换元法的关键是:在求 g(x)dx 时,如何将 g(x)化为 g x f x x ( ) = ( ) ( ) 的形式. 其具体作法可按如下步骤进行. (1)变换积分形式(或称凑微分),即 f x x g x x x ( )d [ ( )] ( )d = ; (2)作变量代换 u x = ( ) ,有 f x x g u u ( )d ( )d = ; (3)利用常用的积分公式求出 g u( ) 的原函数 F u( ) ,即 得 g u u F u C ( )d ( ) = + , 从而 f x x F u C ( )d ( ) = + ; (4)回到原来的变量,将 u x = ( ) 代入即得 f x x F x C ( )d [ ( )] = + . 读者在熟练了这四个步骤以后,也可不必引入中间变量 u x =( ) . 这和我们 学习过的复合函数求导法则相类似,请看下面的例题. 一、第一类换元法(凑微分法)