一、第一类换元法（微分法第三章一元函数积分学及其应用例1求[(3x+2)°dx.解(1)变换积分形式:因为3dx=d(3x）=d(3x+2),所以[(3x+ 2) dx = [(3x+2) .3dx==[(3x+2) d(3x +2) ;(2)设变量代换：令u=3x+2,得du=d(3x+2)=3dx即有微分的步骤[(3x+ 2) dx=[u'du;36
36 第三章 一元函数积分学及其应用 例 1 求 5 (3 2) d x x + . 解 (1)变换积分形式:因为3d d 3 d 3 2 x x x = = + ( ) ( ),所以 5 5 5 1 1 (3 2) d (3 2) 3d = (3 2) d(3 2) 3 3 x x x x x x + = + + + ; (2)设变量代换:令u x = + 3 2,得d d 3 2 3d u x x = + = ( ) , 即有 5 5 1 (3 2) d d 3 x x u u + = ; 一、第一类换元法(凑微分法) 凑微分的步骤
一、第一类换元法（凑微分法）第三章一元函数积分学及其应用例1求[(3x+2)’dx1(3）利用基本积分公式求上式右端积分Pdu+C11361[(3x+2)°dx =6+C从而1118(4)回到原来变量，将u=3x+2代入上式,得所求积分为[(3x + 2) dx = (3x+ 2)° +C.1837
37 一、第一类换元法(凑微分法) 第三章 一元函数积分学及其应用 (3)利用基本积分公式求上式右端积分: 1 1 1 5 6 d 3 3 6 u u u C = + , 从而 5 6 1 (3 2) d 18 x x u C + = + ; (4)回到原来变量,将u x = + 3 2代入上式,得所求积分为 5 6 1 (3 2) d (3 2) 18 x x x C + = + + . 例 1 求 5 (3 2) d x x +
一、第一类换元法（微分法）第三章一元函数积分学及其应用例1求[(3x+2)°dx以后我们就不用写出中间变量u，从求积分的第一步的式子中,将（3x+2）当作中间变量u，直接得到第四步的结果．这样,本例求积分过程可简化为[(3x + 2) dx = [(3x + 2) d(3x + 2) =(3x+2)°+C8一般地,当被积函数形式为f(ax+b)时，可作变换u=ax+b,即若f(x)有原函数 F(x),则J f(ax +b)dx = - F(ax+ b)+C.38O
38 第三章 一元函数积分学及其应用 以后我们就不用写出中间变量u ,从求积分的第一步的式子中,将(3 2) x + 当作 中间变量u ,直接得到第四步的结果. 这样,本例求积分过程可简化为 5 5 6 1 1 (3 2) d (3 2) d(3 2) (3 2) . 3 18 x x x x x C + = + + = + + 一般地,当被积函数形式为 f (ax + b)时, 可作变换 u = ax +b ,即若 f (x)有原 函数 F(x),则 ( ) F(ax b) C a f ax + b x = + + 1 d . 一、第一类换元法(凑微分法) 例 1 求 5 (3 2) d x x +
一、第一类换元法（微分法第三章一元函数积分学及其应用dx例2求不定积分+2x解0X(1+2x)'dxd11t2x2JJ1+2x+21d(1+2x) 1+2x=udu2J1+2xJuin μ+C u=1+2x =In|1+2x|+C.39
39 第三章 一元函数积分学及其应用 例 2 求不定积分 1 d 1 2 x + x . 解 1 d 1 2 x + x 1 1 d(1 2 ) 2 1 2 x x = + + = ln u + C 2 1 一、第一类换元法(凑微分法) 1 1 2d 2 1 2 x x = + 1 1 (1 2 ) d 2 1 2 x x x = + + 1 2 + =x u 1 1 d 2 u u u x = +1 2 1 ln 1 2 . 2 + + x C
一、第一类换元法（微分法）第三章一元函数积分学及其应用Inxdx;例3求不定积分：（1）因为一dx=dlnx,故解x[In*dx=[Inxd(lnx) Inx=u [udu=u +C u=lnx_ln'x+C.注f(ln x)-dx = f(ln x)d(In x)x40
40 第三章 一元函数积分学及其应用 例 3 求不定积分: (1) ln d x x x ; 解 因为 1 d dln x x x = ,故 ln d x x x 注 1 f x x f x x (ln ) d (ln )d(ln ). x = 一、第一类换元法(凑微分法) ln x u = u ud = ln d(ln ) x x 1 2 2 = + u C u x = ln 1 2 ln . 2 x C+