二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用例5设曲线通过点（1,1)，且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的平方，求此曲线的方程根据题意知曲线上任意一点（xy)处的解#设所求的曲线方程为y=f(x).=x.由[xdx=1切线斜率为=x+C得曲线方程y=x+Cdx332又x=1=1,故C=因此所求的曲线方程为32Y3311
11 第三章 一元函数积分学及其应用 例5 设曲线通过点(1,1) , 且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的 平方, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为 y = f (x). 又 1 1 x y = = , 故 2 3 C = , 因此所求的曲线方程为 1 2 2 3 3 y x = + . 二、不定积分 根据题意知曲线上任意一点 (x, y)处 的 切线斜率为 d 2 d y x x = . 由 2 3 1 d 3 x x x C = + 得曲线方程 1 3 3 y x C = +
二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用x+C为例，我们来看关于不定积V3分的几何意义x3x的图形沿轴方向+C的图33移动一段距离C得到的C>0时向上移，C<0时x0:向下移(见图3-1)．通常称f(x)的一个原函数F(x)的图形为函数f(x)的积分曲线，不定积分图3-1[f(x)dx在几何上表示积分曲线族．在积分曲线族上，横坐标相同的点处的切线是相互平行的12
12 第三章 一元函数积分学及其应用 以 3 2 d 3 x x x C = + 为 例, 我们来看关于不定积 分的几何意义. 3 3 x y C = + 的图形为 3 3 x y = 的图形沿 y 轴方向 移动一段距离 C 得到的. C 0时向上移, C 0时 向下移(见图3-1). 二、不定积分 y 1 O x y= x 3 3 +C 3 y= x 3 图3-1 通常称 f x( ) 的一个原函数 F x( ) 的 图 形 为 函 数 f x( ) 的 积 分 曲 线 , 不定积分 f x x ( )d 在几何上表示积分曲线族. 在积分曲线族 上, 横坐标相同的点处的切线是相互平行的
三、基本积分公式第三章一元函数积分学及其应用由于积分运算是微分运算的逆运算，所以由基本求导公式可以直接得到基本积分公式(1) [odx = C ;(2) [ kdx = kx +C ;rh+1dx= Inx+C;（4)/x"dx:+C(u+31+1dxarctanx+C=-arccotx+C:dxarcsinx+C=-arccosx+C13
13 第三章 一元函数积分学及其应用 由于积分运算是微分运算的逆运算, 所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式. (1) 0dx C= ; (2) k x kx C d = + ; (3) ( ) 1 d 1 1 x x x C + = + − + ; (4) x C x x = + ln d ; (5) 2 d arctan cot 1 x x C arc x C x = + = − + + ; 三、基本积分公式 (6) 2 d arcsin arccos 1 x x C x C x = + = − + − ;
三、基本积分公式第三章一元函数积分学及其应用由于积分运算是微分运算的逆运算，所以由基本求导公式可以直接得到基本积分公式(7) [ cos xdx = sin x + C;(8) sin xdx = -cos x +C;(10)[csc2xdx=-cotx+C;(9) [ sec2 xdx = tan x + C ;(11) [ sec x tan xdx = sec x +C ;(12) [csc xcot xdx = -csc x + C;ax(14) [a*dx :(13) [e'dx = e* +C;+CIna14
14 第三章 一元函数积分学及其应用 由于积分运算是微分运算的逆运算, 所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式. (7) cos xdx = sin x + C ; (8) sin xdx = −cos x + C ; (9) sec xdx = tan x + C 2 ; (10) x x = − x + C csc d cot 2 ; (11) sec tan d sec x x x x C = + ; (12) csc x cot xdx = −csc x + C ; (13) x C x x = + e d e ; (14) C a a a x x x = + ln d . 三、基本积分公式
四、不定积分的性质第三章一元函数积分学及其应用性质1（积分与求导的关系）设函数f(x）及f（x）的原函数存在，则()[ (x)ax]= (t);(2) [ (x)dx = f(x)+ C.由此可见，求导运算与不定积分的运算（简称积分运算，以记号表示)是互逆"的15
15 第三章 一元函数积分学及其应用 性质1(积分与求导的关系) 设函数 f (x)及 f x '( )的原函数存在, 则 (1) f (x) x f (x) x = d d d ; (2) f (x) x = f (x) + C d . 由此可见, 求导运算与不定积分的运算(简称积分运算, 以记号 表示)是“互 逆”的. 四、不定积分的性质